Lý thuyết Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm - Toán 11 Cánh diều

1. Định nghĩa

- Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \({x_0}\) và được kí hiệu là \(f'\left( {{x_0}} \right)\) hoặc \(y{'_{x_o}}\).

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

2. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm \(f'\left( {{x_0}} \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \({x_0}\), ta lần lượt thực hiện ba bước sau:

Bước 1. Xét \(\Delta x = x - {x_0}\) là số gia của biến số tại điểm \({x_0}\).

Tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2.  Rút gọn tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Bước 3. Tính \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Kết luận: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = a\).

3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

- Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({x_0}\) là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\).

- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\).