Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa dãy số

• Dãy số vô hạn

Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương \({\mathbb{N}^*}\)được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), nghĩa là

\(u:{\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}\)

\(n \mapsto {u_n} = u\left( n \right)\)

Dãy số trên được kí hiệu là \(\left( {{u_n}} \right)\).

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được viết dưới dạng khai triển \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...\)

Số \({u_1}\) là số hạng đầu; \({u_n}\) là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

* Chú ý: Nếu \(\forall n \in {\mathbb{N}^*},{u_n} = c\) thì \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số không đổi.

• Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập \(M = \left\{ {1;2;3;...;m} \right\},m \in {\mathbb{N}^*}\) được gọi là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là \({u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}\).

Trong đó, số \({u_1}\) gọi là số hạng đầu, \({u_m}\) là số hạng cuối.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

- Liệt kê các số hạng (với các dãy hữu hạn).

- Công thức của số hạng tổng quát \({u_n}\).

- Phương pháp truy hồi:

   + Cho số hạng thứ nhất \({u_1}\) (hoặc một vài số hạng đầu tiên).

   + Cho một công thức tính \({u_n}\) theo \({u_{n - 1}}\) (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

- Phương pháp mô tả.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu ta có \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu ta có \({u_{n + 1}} < {u_n}\)\(,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

4. Dãy số bị chặn

• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu \(\exists \) số M sao cho \({u_n} \le M,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu \(\exists \) số m sao cho \({u_n} \ge m,\) \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
• Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M,\)\(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).