Giải mục 2 trang 46, 47 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 3

Cho các dãy số \(\left( {{a_n}} \right),\left( {{b_n}} \right),\left( {{c_n}} \right),\left( {{d_n}} \right)\) được xác định như sau.

• \({a_1} = 0;{a_2} = 1;{a_3} = 2;{a_4} = 3;{a_5} = 4\).

• \({b_n} = 2n\).

• \(\left\{ \begin{array}{l}{c_1} = 1\\{c_n} = {c_{n - 1}} + 1\left( {n \ge 2} \right)\end{array} \right.\).      

• \({d_n}\) là chu vi của đường tròn có bán kính \(n\).

Tìm bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.

Phương pháp giải:

• Lần lượt thay giá trị \(n = 1;2;3;4\) vào biểu thức \({b_n}\).

• Lần lượt thay giá trị \(n = 2;3;4\) vào biểu thức \({c_n}\).

• Áp dụng công thức tính chu vi đường tròn có bán kính \(n\) là \({d_n} = 2\pi n\) rồi lần lượt thay giá trị \(n = 1;2;3;4\).

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({a_1} = 0;{a_2} = 1;{a_3} = 2;{a_4} = 3;{a_5} = 4\).

\({b_1} = 2.1 = 2;{b_2} = 2.2 = 4;{b_3} = 2.3 = 6;{b_4} = 2.4 = 8\).

 \({c_1} = 1;{c_2} = {c_1} + 1 = 1 + 1 = 2;{c_3} = {c_2} + 1 = 2 + 1 = 3;{c_4} = {c_3} + 1 = 3 + 1 = 4\).

+ Chu vi đường tròn có bán kính \(n\) là \({d_n} = 2\pi n\).

Ta có: \({d_1} = 2\pi .1 = 2\pi ;{d_2} = 2\pi .2 = 4\pi ;{d_3} = 2\pi .3 = 6\pi ;{d_4} = 2\pi .4 = 8\pi \).

Thực hành 2

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 2{u_n}\left( {n \ge 1} \right)\end{array} \right.\).

a) Chứng minh \({u_2} = 2.3;{u_3} = {2^2}.3;{u_4} = {2^3}.3\).

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Phương pháp giải:

a) Lần lượt thay giá trị \(n = 1;2;3\) vào biểu thức \({u_{n + 1}}\).

b) Tìm điểm chung của các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \({u_2} = 2{u_1} = 2.3;{u_3} = 2{u_2} = 2.2.3 = {2^2}.3;{u_4} = 2{u_3} = {2.2^2}.3 = {2^3}.3\)

b) \({u_n} = {2^{n - 1}}.3\).

Vận dụng 2

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 1). Gọi \({u_n}\) là số cột gỗ nằm ở lớp thứ 2 tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát \({u_n}\).

b) Viết hệ thức truy hồi.

Phương pháp giải:

Dựa vào số cột gỗ ở mỗi lớp và điều kiện đề bài là hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 14 = 13 + 1\\{u_2} = 15 = 13 + 2\\{u_3} = 16 = 13 + 3\\ \vdots \end{array}\)

Vậy công thức số hạng tổng quát: \({u_n} = 13 + n\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = 14\\{u_2} = 15 = {u_1} + 1\\{u_3} = 16 = {u_2} + 1\\ \vdots \end{array}\)

Vậy công thức truy hồi: \({u_n} = {u_{n - 1}} + 1\left( {n \ge 2} \right)\).