Giải toán 11, giải bài tập toán lớp 11 đầy đủ đại số và giải tích, hình học

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa

Quảng cáo

1. Định nghĩa

Giả sử hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right)$.

+) Nếu hàm số $f'\left( x \right)$ có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số $f\left( x \right)$, kí hiệu là $f''\left( x \right)$.

+) Đạo hàm cấp $n\left( {n \in N,n \ge 2} \right)$ của hàm số $y = f\left( x \right)$ là đạo hàm của hàm số ${f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)$.

Kí hiệu: ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right)$ hay ${y^{\left( n \right)}}$:

Tức là ${f^{\left( n \right)}}\left( x \right) = \left[ {{f^{\left( {n - 1} \right)}}\left( x \right)} \right]'$

Đặc biệt: ${f^{(0)}}\left( x \right)= f\left( x \right)$

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét một chất điểm chuyển động có phương trình là: $S = s\left( t \right)$.

Khi đó, vận tốc của chất điểm tại thời điểm ${t_0}$ là: $v\left( {{t_0}} \right) = S'\left( {{t_0}} \right)$

Gia tốc của chất điểm tại thời điểm ${t_0}$ là: $a\left( {{t_0}} \right) = S''\left( {{t_0}} \right)$

3. Đạo hàm cấp cao của một số hàm cơ bản

+) ${\left( {\sin x} \right)^{\left( n \right)}} = \sin \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)$

+) ${\left( {\cos x} \right)^{\left( n \right)}} = \cos \left( {x + \dfrac{{n\pi }}{2}} \right)$

+) Nếu $n \le m$ thì $\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)} =m\left( {m - 1} \right)...\left( {m - n + 1} \right).{x^{m - n}}$

+) Nếu $n>m$ thì ${\left( {{x^m}} \right)^{\left( n \right)}} =0$.

$\begin{array}{l}
+ )y = \sin \left( {ax + b} \right)\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\sin \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\
+ )y = \cos \left( {ax + b} \right)\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = {a^n}\cos \left( {ax + b + \frac{{n\pi }}{2}} \right)\\
+ )y = \frac{1}{{ax + b}}\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!.{a^n}}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}\\
+ )y = \sqrt[m]{{ax + b}}\\
\Rightarrow {y^{\left( n \right)}} = \frac{1}{m}.\left( {\frac{1}{m} - 1} \right)...\left( {\frac{1}{m} - n + 1} \right).{a^n}.{\left( {ax + b} \right)^{\frac{1}{m} - n}}
\end{array}$