Lý thuyết cấp số nhân

1. Định nghĩa

$u_n$ là cấp số nhân $\Leftrightarrow u_{n+1}= u_n.q$, với $n\in {\mathbb N}^*$

Công bội $q = \dfrac{{u_{n + 1}}} {{u_n}}$.

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn ${u_1} = 5,q = 3$. Tính ${u_2}$.

Ta có: ${u_2} = q{u_1} = 3.5 = 15$.

2. Số hạng tổng quát

${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} ,(n ≥ 2)$

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn ${u_1} = 5,q = 3$. Tính ${u_5}$.

Ta có:

${u_5} = {u_1}{q^4} = {5.3^4} = 405$.

3. Tính chất

$u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}$ hay $|{u_k}| = \sqrt{{u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}},$ với $k ≥ 2$ 

Ví dụ:

Cho bốn số $x;\,5;\,25;\,y$ theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm $x,\,y$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{5^2} = x.25 \Leftrightarrow x = 1\\{25^2} = 5y \Leftrightarrow y = 125\end{array}$

Vậy $x = 1,y = 125$.

4. Tổng n số hạng đầu 

${S_n} = \dfrac{{u_1}({q^n} - 1)} {q - 1}$ $= \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$, $(q ≠ 1)$.

Ví dụ:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn ${u_1} = 5,q = 3$. Tính ${S_{10}}$.

Ta có:

$\begin{array}{l}{S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5.\left( {1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}\end{array}$

5. Bài tập về cấp số nhân

Bài 1. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. $q = - 4\,.$

B. $q = 4.$

C. $q = - 12.$

D. $q = 10.$

Lời giải: Vì $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân nên $q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4$.

Chọn đáp án A

Bài 2. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = 3,{u_5} = 48$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. ${u_3} = 12.\,\,\,\,$

B. ${u_3} = - 12.$

C. ${u_3} = 16.$

D. ${u_3} = - 16.$

Lời giải: Ta có:

${u_5} = {u_1}.{q^4} \Leftrightarrow 48 = 3.{q^4} \Leftrightarrow {q^4} = 16$ $\Leftrightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow {u_3} = {u_1}.{q^2} = 3.4 = 12$

Chọn đáp án A.

Bài 3. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_1} = - 2,\,{u_2} = 8$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. ${S_5} = - 512$

B. ${u_5} = 256$

C. ${u_5} = - 512$

D. $q = 4$

Lời giải: Ta có:

${u_1} = - 2,{u_2} = 8 \Rightarrow q = \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \dfrac{8}{{ - 2}} = - 4$

Do đó ${u_5} = {u_1}.{q^4} = - 2.{\left( { - 4} \right)^4} = - 512$.

${S_5} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^5}} \right)}}{{1 - q}} = \dfrac{{ - 2\left( {1 - {{\left( { - 4} \right)}^5}} \right)}}{{\left( {1 - \left( { - 4} \right)} \right)}} = - 410$

Chọn đáp án C.

Bài 4. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_1} = - 1;\,q = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$. Số $\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}$ là số hạng thứ bao nhiêu?

A. số hạng thứ $103$

B. số hạng thứ $104$

C. số hạng thứ $105$

D. Đáp án khác

Lời giải: Ta có:

${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{10}^{103}}}} = - 1.{\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} \Leftrightarrow {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{n - 1}} = - \left( {\dfrac{1}{{{{10}^{103}}}}} \right) = {\left( { - \dfrac{1}{{10}}} \right)^{103}}$ $\Leftrightarrow n - 1 = 103 \Leftrightarrow n = 104$

Chọn đáp án B.

Bài 5. Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$, biết: ${u_5} = 3,{u_6} = - 6$ . Lựa chọn đáp án đúng.

A. ${u_7} = 12.$

B. ${u_7} = - 12.$

C. ${u_7} = - 2$

D. ${u_7} = 18$

Lời giải: Ta có:

$u_6^2 = {u_5}.{u_7} \Rightarrow {u_7} = \dfrac{{u_6^2}}{{{u_5}}} = \dfrac{{{{\left( { - 6} \right)}^2}}}{3} = 12$

Chọn đáp án A.

Bài 6. Dãy số nào trong các dãy số sau không phải là cấp số nhân:

A. ${u_n} = {5^n}$

B. ${u_n} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^{n + 1}}$

C. ${u_n} = 5n + 1$

D. ${u_n} = {4^n}$

Lời giải: Ta có:

${u_n} = {5^n}$ nên ${u_{n + 1}} = {5^{n + 1}} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \dfrac{{{5^{n + 1}}}}{{{5^n}}} = 5$ không đổi $\forall n \ge 1$ .

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_n} = {5^n}$ là cấp số nhân.

Tương tự ta cũng có dãy số ở đáp án D là cấp số nhân.

Ta có:

${u_n} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 1}}$ nên ${u_{n + 1}} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 2}} = ( - \sqrt 3 ){u_n} \Rightarrow \dfrac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = ( - \sqrt 3 )$ không đổi $\forall n \ge 1$ .

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$có ${u_n} = 2{( - \sqrt 3 )^{n + 1}}$ là cấp số nhân.

Ta có:

${u_n} = 5n + 1$ nên ${u_1} = 8;{u_2} = 13;{u_3} = 18 \Rightarrow \dfrac{{{u_2}}}{{{u_1}}} \ne \dfrac{{{u_3}}}{{{u_2}}}$

Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ không là cấp số nhân.

Chọn đáp án C.

Bài 7. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có công bội $q > 0$ . Biết ${u_2} = 4;{u_4} = 9$ .

A. ${u_1} = - \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}$

B. ${u_1} = \dfrac{8}{3};q = \dfrac{3}{2}$

C. ${u_1} = - \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}$

D. ${u_1} = \dfrac{5}{3};q = \dfrac{3}{2}$

Lời giải: Ta có ${u_2} = 4 = {u_1}.q$ và ${u_4} = 9 = {u_1}.{q^3}$

$\Rightarrow \dfrac{{{u_4}}}{{{u_2}}} = \dfrac{{{u_1}.{q^3}}}{{{u_1}.q}} \Rightarrow \dfrac{9}{4} = {q^2}$ $\Rightarrow q = \dfrac{3}{2}{\rm{ }}\left( {q > 0} \right) \Rightarrow {u_1} = \dfrac{8}{3}$

Chọn đáp án B.

Bài 8. Số đo bốn góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số nhân, biết rằng số đo của góc lớn nhất gấp $8$ lần số đo của góc nhỏ nhất. Tìm góc lớn nhất:

A. ${190^0}$

B. ${191^0}$

C. ${192^0}$

D. ${193^0}$

Lời giải: Gọi $A,B,C,D$ là số đo của bốn góc của tứ giác lồi đã cho. Không mất tính tổng quát, giả sử $A < B < C < D$.

Theo giả thiết ta có $D = 8A$ và $A,B,C,D$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đó, ta có:

$\begin{array}{l}8A = D = A.{q^3} \Leftrightarrow q = 2 \\ \Rightarrow {360^0} = A + B + C + D \\ = A + 2A + 4A + 8A = 15A\\ \Rightarrow A = 24{}^0 \Rightarrow D = 24{}^0.8 = {192^0}\end{array}$

Chọn đáp án C.