Lý thuyết cấp số nhân1. Định nghĩa un là cấp số nhân un+1 = un.q, với n ε N* Quảng cáo
1. Định nghĩa \(u_n\) là cấp số nhân \(\Leftrightarrow u_{n+1}= u_n.q\), với \(n\in {\mathbb N}^*\) Công bội \(q = \dfrac{{u_{n + 1}}} {{u_n}}\). Ví dụ: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5,q = 3\). Tính \({u_2}\). Ta có: \({u_2} = q{u_1} = 3.5 = 15\). 2. Số hạng tổng quát \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} ,(n ≥ 2)\) Ví dụ: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5,q = 3\). Tính \({u_5}\). Ta có: \({u_5} = {u_1}{q^4} = {5.3^4} = 405\). 3. Tính chất \(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\) hay \(|{u_k}| = \sqrt{{u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}},\) với \(k ≥ 2\) Ví dụ: Cho bốn số \(x;\,5;\,25;\,y\) theo thứ tự đó lập thành một CSN. Tìm \(x,\,y\). Ta có: \(\begin{array}{l}{5^2} = x.25 \Leftrightarrow x = 1\\{25^2} = 5y \Leftrightarrow y = 125\end{array}\) Vậy \(x = 1,y = 125\). 4. Tổng n số hạng đầu \({S_n} = \dfrac{{u_1}({q^n} - 1)} {q - 1}\) \(= \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\), \((q ≠ 1)\). Ví dụ: Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \({u_1} = 5,q = 3\). Tính \({S_{10}}\). Ta có: \(\begin{array}{l}{S_{10}} = \dfrac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5.\left( {1 - {3^{10}}} \right)}}{{1 - 3}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{5\left( {{3^{10}} - 1} \right)}}{2}\end{array}\) Loigiaihay.com
Quảng cáo
|