Giải SGK, SBT, VTH Toán 9 Bài 9. Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Kết nối tri thức

Tính và so sánh \(\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}.25} \) với \(\left| { - 3} \right|.\sqrt {25} \)

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) \(\sqrt {12} ;\)

b) \(3\sqrt {27} ;\)

c) \(5\sqrt {48} .\)

Khử mẫu của biểu thức lấy căn \(\sqrt {\frac{3}{5}} .\)

Vuông làm: \(\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2}.5}  =  - 2\sqrt 5 \)

Em có đồng ý với cách làm của Vuông không? Vì sao?

Tính và so sánh:

a) \(5.\sqrt 4 \) với \(\sqrt {{5^2}.4} ;\)

b) \( - 5.\sqrt 4 \) với \( - \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}.4} \)

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) \(3\sqrt 5 ;\)

b) \( - 2\sqrt 7 .\)

Cho hai biểu thức \(\frac{{ - 2}}{{\sqrt 3  + 1}}\) và \(\frac{1}{{\sqrt 3  - \sqrt 2 }}.\) Hãy thực hiện các yêu cầu sau để viết các biểu thức đó dưới dạng không có căn thức ở mẫu:

a) Xác định biểu thức liên hợp của mẫu.

b) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu.

c) Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để rút gọn mẫu của biểu thức nhận được.

Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) \(\frac{{ - 5\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2\sqrt 3 }};\)

b) \(\frac{{{a^2} - 2a}}{{\sqrt a  + \sqrt 2 }}\left( {a \ge 0,a \ne 2} \right).\)

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức \(\frac{{3a}}{{2\sqrt 2 }}\) với \(\sqrt 2 \) và viết biểu thức nhận được dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

Rút gọn biểu thức sau:

\(\left( {\frac{{\sqrt {22}  - \sqrt {11} }}{{1 - \sqrt 2 }} + \frac{{\sqrt {21}  - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 3 }}} \right)\left( {\sqrt 7  - \sqrt {11} } \right).\)

Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi chuyển động với tốc độ v (m/s) được cho bởi công thức \(m = \frac{{{m_0}}}{{\sqrt {1 - \frac{{{v^2}}}{{{c^2}}}} }},\) trong đó \({m_0}\) (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, c (m/s) là tốc độ của ánh sáng trong chân không (Theo sách Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016) .

a) Viết lại công thức tính khối lượng m dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

b) Tính khối lượng m theo \({m_0}\) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với tốc độ \(v = \frac{1}{{10}}c.\)

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) \(4\sqrt 3 ;\)

b) \( - 2\sqrt 7 ;\)

c) \(4\sqrt {\frac{{15}}{2}} ;\)

d) \( - 5\sqrt {\frac{{16}}{5}} .\)

Khử mẫu trong dấu căn:

a) \(2a.\sqrt {\frac{3}{5}} ;\)

b) \( - 3x.\sqrt {\frac{5}{x}} \left( {x > 0} \right);\)

c) \( - \sqrt {\frac{{3a}}{b}} \left( {a \ge 0,b > 0} \right).\)

Trục căn thức ở mẫu:

a) \(\frac{{4 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }};\)

b) \(\frac{1}{{\sqrt 5  - 2}};\)

c) \(\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }};\)

d) \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}.\)

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(2\sqrt {\frac{2}{3}}  - 4\sqrt {\frac{3}{2}} ;\)

b) \(\frac{{5\sqrt {48}  - 3\sqrt {27}  + 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }};\)

c) \(\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }} + \frac{{4\sqrt 2  - 4}}{{2 - \sqrt 2 }}.\)

Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt x \left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right)\left( {x \ge 0,x \ne 9} \right).\)

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) \(\sqrt {75} ;\)

b) \(\sqrt {27a} \left( {a \ge 0} \right);\)

c) \(\sqrt {50\sqrt 2  + 100} ;\)

d) \(\sqrt {9\sqrt 5  - 18} .\)

Tính giá trị biểu thức \(P = {\left( {\sqrt {20}  + 2\sqrt {45}  - 3\sqrt {80} } \right)^2}\).

Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: \(9\sqrt 2 ;\;8\sqrt 3 ;\;5\sqrt 6 ;\;4\sqrt 7 \).

Thực hiện phép tính \({\left( {\frac{1}{{\sqrt 8  + \sqrt 7 }} + \sqrt {175}  - 2\sqrt 2 } \right)^2}\).

Thực hiện phép tính \(\sqrt {\frac{{3 - 2\sqrt 2 }}{{17 - 12\sqrt 2 }}}  - \sqrt {\frac{{3 + 2\sqrt 2 }}{{17 + 12\sqrt 2 }}} \).

Không sử dụng MTCT, chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên:

\(P = \left( {\frac{{\sqrt 5  + 1}}{{1 + \sqrt 5  + \sqrt 3 }} + \frac{{\sqrt 5  - 1}}{{1 + \sqrt 3  - \sqrt 5 }}} \right)\left( {\sqrt 3  - \frac{4}{{\sqrt 3 }} + 2} \right).\sqrt {0,2}. \)

a) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \(\frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2  - 1}}\).

b) Tính giá trị biểu thức \(P = x\left( {{x^4} - 6{x^2} + 1} \right)\) tại \(x = \frac{{3 + \sqrt 2 }}{{2\sqrt 2  - 1}}\).

Phép biến đổi nào sau đây là đúng?

A. \( - 5\sqrt 2  = \sqrt {\left( { - 5} \right).2} \).

B. \( - 5\sqrt 2  = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}.2} \).

C. \( - 5\sqrt 2  =  - \sqrt {{5^2}.2} \).

D. \( - 5\sqrt 2  = \sqrt {{{\left| 5 \right|}^2}.2} \).

Muốn trục căn thức ở mẫu của biểu thức \(\frac{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}{{\sqrt 2  - 1}}\) ta cần:

A. Nhân biểu thức đó với \(\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)\).

B. Nhân biểu thức đó với \(\left( {\sqrt 2  + 1} \right)\).

C. Nhân biểu thức đó với biểu thức liên hợp.

D. Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đó với \(\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\).

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) \(\sqrt {52} \);

b) \(\sqrt {27a} \left( {a \ge 0} \right)\);

c) \(\sqrt {50\sqrt 2  + 100} \);

d) \(\sqrt {9\sqrt 5  - 18} \).

Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) \(4\sqrt 3 \);

b) \( - 2\sqrt 7 \);

c) \(4\sqrt {\frac{{15}}{2}} \);

d) \( - 5\sqrt {\frac{{16}}{5}} \).

Khử mẫu trong dấu căn:

a) \(2a.\sqrt {\frac{3}{5}} \);

b) \( - 3x.\sqrt {\frac{5}{x}} \left( {x > 0} \right)\);

c) \( - \sqrt {\frac{{3a}}{b}} \left( {a \ge 0,b > 0} \right)\).

Trục căn thức ở mẫu:

a) \(\frac{{4 + 3\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 }}\);

b) \(\frac{1}{{\sqrt 5  - 2}}\);

c) \(\frac{{3 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }}\);

d) \(\frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 3  + \sqrt 2 }}\).

Rút gọn các biểu thức sau:

a) \(2\sqrt {\frac{2}{3}}  - 4\sqrt {\frac{3}{2}} \);

b) \(\frac{{5\sqrt {48}  - 3\sqrt {27}  + 2\sqrt {12} }}{{\sqrt 3 }}\);

c) \(\frac{1}{{3 + 2\sqrt 2 }} + \frac{{4\sqrt 2  - 4}}{{2 - \sqrt 2 }}\).

Rút gọn biểu thức \(A = \sqrt x \left( {\frac{1}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{1}{{3 - \sqrt x }}} \right)\;\;\left( {x \ge 0,x \ne 9} \right)\).

Rút gọn biểu thức:

a) \(\left( {\frac{{7 - \sqrt 7 }}{{1 - \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\left( {\frac{{7 + \sqrt 7 }}{{1 + \sqrt 7 }} + \sqrt 3 } \right)\);

b) \(\frac{{28}}{3}\sqrt {\frac{{27}}{{16}}}  - 3.\sqrt {\frac{{49}}{3}}  - \frac{9}{4}.\sqrt {\frac{{48}}{{243}}} \).

Xét biểu thức: \(A = \left( {\frac{{x\sqrt x  + 8}}{{x - 2\sqrt x  + 4}} - 2\sqrt x } \right).\frac{{\sqrt x  + 2}}{{x - 4}}\).

a) Tìm tất cả các giá trị của biến x để tính được giá trị của biểu thức.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của biến x tìm được trong câu a, biểu thức đã cho có giá trị không đổi.