Giải SGK, SBT, VTH Toán 9 Bài 12. Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng Kết nối tri thức

Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền a và các cạnh góc vuông b, c (H.4.12).

a) Viết các tỉ số lượng giác sin, cosin của góc B và góc C theo độ dài các cạnh của tam giác ABC.

b) Tính mỗi cạnh góc vuông b và c theo cạnh huyền a và các tỉ số lượng giác trên góc B và góc C.

a) Một chiếc thang dài 3m. Cần đặt chân thang cách chân tường một khoảng bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến số thập phân thứ hai) để nó tạo được với mặt đất một góc “an toàn” \({65^0}\) (tức là đảm bảo thang chắc chắn khi sử dụng) (H.4.14) ?

b) Một khúc sông rộng khoảng 250 m. Một con đò chèo qua khúc sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320 m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc \(\alpha \) bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến phút) ? (H.4.15).

Xét tam giác ABC trong Hình 4.16.

a) Viết các tỉ số lượng giác tang, cotang của góc B và góc C theo b và c.

b) Tính mỗi cạnh góc vuông b và c theo cạnh góc vuông kia và các tỉ số lượng giác trên của góc B và góc C.

Bóng trên mặt đất của một cây dài 25 m. Tính chiều cao của cây (làm tròn đến dm) , biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc \({40^0}\) (H.4.18).

Cho tam giác vuông ABC có cạnh góc vuông AB = 4, cạnh huyền BC = 8. Tính cạnh AC (làm tròn đến số thập phân thứ ba) và các góc B, C (làm tròn đến độ).

1.  Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết hai cạnh \(AB = c,AC = b\) hoặc \(AB = c,BC = a\) và không sử dụng định lý Pythagore (H.4.21).

2. Hãy nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết cạnh góc vuông AB (hoặc cạnh huyền BC) và góc B.

Giải tam giác ABC vuông tại A, biết \(BC = 9,\widehat C = {53^0}.\)

Giải bài toán ở tình huống mở đầu với \(\alpha  = {27^0},\beta  = {19^0}.\)

Tình huống mở đầu: Để đo chiều cao của một tòa lâu đài (H.4.11) , người ta đặt giác kế thẳng đứng tại M. Quay ống ngắm của giác kế sao cho nhìn thấy đỉnh P’ của tòa lâu đài dưới góc nhọn \(\alpha \). Sau đó, đặt giác kế thẳng đứng tại N, NM = 20 m, thì nhìn thấy đỉnh P’ dưới góc nhọn \(\beta \left( {\beta  < \alpha } \right).\) Biết chiều cao giác kế là 1,6 m, hãy tính chiều cao của tòa lâu đài.

Giải tam giác ABC vuông tại A có \(BC = a,AC = b,AB = c,\) trong các trường hợp:

a) \(a = 21,b = 18;\)

b) \(b = 10,\widehat C = {30^0};\)

c) \(c = 5,b = 3.\)

Tính góc nghiêng \(\alpha \) của thùng xe chở rác trong Hình 4.22

Tính góc nghiêng \(\alpha \) và chiều rộng AB của mái nhà kho trong Hình 4.23

Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài \(2\sqrt 3 \) và 2.

Cho hình thang ABCD (AD // BC) có \(AD = 16cm,BC = 4cm,\widehat A = \widehat B = \widehat {ACD} = {90^0}.\)

a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD. Chứng minh \(\widehat {ADC} = \widehat {ACE}.\) Tính sin của các góc \(\widehat {ADC},\widehat {ACE}\) và suy ra \(A{C^2} = AE.AD.\) Từ đó tính AC.

b) Tính góc D của hình thang.

Một người đứng tại điểm A, cách gương phẳng đặt nằm trên mặt đất tại điểm B là 1,2 m, nhìn thấy hình phản chiếu qua gương B của ngọn cây (cây có gốc ở tại điểm C cách B là 4,8 m, B nằm giữa A và C). Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là 1,65 m. Tính chiều cao của cây (H.4.24).

Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Hãy tính cosC theo hai cách và suy ra \(A{C^2} = BC.HC\).

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A. Tính \(\tan \widehat {ABH}\) và \(\tan \widehat {CAH}\), suy ra \(A{H^2} = BH.CH\).

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\).

(HD: ta có \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}},\sin C = \frac{{AH}}{{AC}},\cos B = \sin C\) và áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\) với mọi góc nhọn \(\alpha \)).

Cho tam giác ABC có \(BC = 11cm,\widehat {ABC} = {38^o},\widehat {ACB} = {30^o}\). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính AH.

Giải tam giác ABC vuông tại A, với \(AB = c,BC = a,CA = b\) trong các trường hợp (cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) \(a = 5,\widehat B = {50^o}\);

b) \(b = 5,\widehat B = {40^o}\);

c) \(b = 5,\widehat C = {55^o}\).

Cho A, B là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết AN và PM cùng vuông góc MN, \(MN = n\) (mét), \(MP = p\) (mét), \(p > n\) và \(\widehat {MPA} = \alpha \) (H.4.12). Chứng minh rằng: \(AB = \frac{{p\tan \alpha  - n}}{{\sin \alpha }}\).

Một người đứng xa tòa nhà 100m, dùng giác kế thẳng đứng ngắm thấy điểm trên nóc nhà với góc nhìn \({15^o}\) (so với phương nằm ngang) (H.4.13). Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), biết chiều cao của giác kế là 1,7m?

Hai trạm quan trắc tàu biển đặt ở hai mỏm núi A và B cách nhau 2km, nhìn thấy chiếc tàu C ở phía xa với \(\widehat {CAB} = {50^o},\widehat {CBA} = {45^o}\) (H.4.14). Hỏi tàu còn cách đường thẳng AB bao nhiêu mét?

Trong một trận chiến đấu, một máy bay của đối phương bay ở độ cao 1 800m. Khẩu pháo cao xa ngắm chiếc máy bay đó dưới một góc \({35^o}\) so với phương nằm ngang. Tìm khoảng cách từ pháo cao xạ đến máy bay (làm tròn đến mét).

Từ một đài quan sát ở cạnh bờ biển, có độ cao 300m so với mặt biển, nhìn thấy một con tàu dưới một góc \({25^o}\) (so với phương nằm ngang của mực nước biển (H.4.15)). Hỏi khoảng cách từ tàu đến đài quan sát xấp xỉ bao nhiêu mét?

Cho tam giác PQR như Hình 4.12. Khi đó ta có:

A. \(PQ = PR.\sin P\).

B. \(PQ = PR.\cos R\).

C. \(QR = PR.\cos P\).

D. \(QR = PR.\cos R\).

Cho tam giác PQR như Hình 4.12. Khi đó

A. \(PQ = QR.\tan P\).

B. \(PQ = QR.\cot R\).

C. \(QR = PQ.\tan P\).

D. \(QR = PQ.\cot P\).

Cho tam giác vuông MNP như Hình 4.13. Khi đó

A. \(MN = \frac{5}{2}\).

B. \(MN = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(MN = 5\sqrt 3 \).

D. \(MN = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\).

Cho tam giác vuông MNP như Hình 4.14. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau?

A. \(NP = 8,5\).

B. \(MN = \frac{{17\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(NP = MN.\tan {60^o}\).

D. \(NP = MN.\cot {60^o}\).

Giải tam giác ABC vuông tại A có \(BC = a,AC = b,AB = c,\) trong các trường hợp (góc làm tròn đến độ, cạnh làm tròn đến chữ số hàng đơn vị):

a) \(a = 21,b = 18\);

b) \(b = 10,\widehat C = {30^o}\);

c) \(c = 5;b = 3\).

Tính góc nghiêng \(\alpha \) của thùng xe chở rác trong Hình 4.15a.

Tính góc nghiêng \(\alpha \) và chiều rộng AB của mái nhà kho trong Hình 4.16 (góc làm tròn đến độ, độ dài làm tròn đến dm).

Tính các góc của hình thoi có hai đường chéo dài \(2\sqrt 3 \) và 2.

Cho hình thang ABCD (AD//BC) có \(AD = 16cm,BC = 4cm\) và \(\widehat A = \widehat B = \widehat {ACD} = {90^o}\).

a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD. Chứng minh \(\widehat {ADC} = \widehat {ACE}\). Tính sin của các góc \(\widehat {ADC},\widehat {ACE}\) và suy ra \(A{C^2} = AD.AE\). Từ đó tính AC.

b) Tính góc D của hình thang.

Một người đứng tại điểm A, cách gương phẳng đặt nằm trên mặt đất tại điểm B là 1,2m, nhìn thấy hình phản chiếu qua gương B của ngọn cây (cây mọc thẳng đứng, có gốc ở tại điểm C cách B là 4,8m, B nằm giữa A và C). Biết khoảng cách từ mặt đất đến mắt người đó là 1,65m. Tính chiều cao của cây (H.4.19a).

Để đo chiều rộng của một khúc sông, có hai người đã làm như sau: Hai người đứng ở hai vị trí A, B trên hai bên bờ sông, nhìn thấy đỉnh một tỏa tháp phía xa dưới góc \({40^o}\) và góc \({55^o}\) (H.4.20). Biết tòa tháp cao 300m, từ đó tính được khoảng cách AB. Em hãy cho biết, họ tính AB bằng bao nhiêu mét.

Một người đứng cách gốc cây 20m nhìn thấy ngọn cây với góc \({36^o}\) so với phương nằm ngang. Biết mắt người ấy cách mặt đất 1,7m và cây mọc thẳng đứng (H.4.21a). Tính chiều cao của cây (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Cho tam giác ABC vuông tại A, \(BC = 10,AB = 6\).

a) Giải tam giác ABC.

b) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt AC tại D. Tính BD, CD, AD và góc ABD. (Góc làm tròn đến độ, cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).