Giải mục 6 trang 29, 30 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Hoạt động 7

Cho hàm số $y = \cot x$

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

b) Hoàn thành bảng giá trị của hàm số $y = \cot x$ trên khoảng$\;\left( {0;\pi } \right)$.

Bằng cách lấy nhiều điểm $M\left( {x;\cot x} \right)$ với $x \in \left( {0;\pi } \right)$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \cot x$ trên khoảng $\left( {0;\pi } \right)$.

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ $T = \pi$, ta được đồ thị của hàm số $y = \cot x$ như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.17, hãy tìm tập giá trị và các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \cot x$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ

Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}\;\backslash \left\{ {k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}$

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: $f\left( { - x} \right) = \cot \left( { - x} \right) =  - \cot x =  - f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D$

Vậy $y = \cot x$ là hàm số lẻ.

b)

 c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số $y = \cot x$ có tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi {\rm{|}}\;k\; \in \;\mathbb{Z}} \right\}$, tập giá trị là $\mathbb{R}$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {k\pi ;\pi  + k\pi } \right)$.

Luyện tập

Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.17, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } \right]$ để hàm số $y = \cot x$ nhận giá trị dương.

Phương pháp giải:

Nhìn đồ thị để xác định vị trí của y và x

Lời giải chi tiết:

Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{2};2\pi } \right]$, thì $y > 0$ khi $x\; \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right) \cup \left( {\;\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$