Bài 1.15 trang 30 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) \(y = \sin 2x + \tan 2x\);

b) \(y = \cos x + {\sin ^2}x\);

c) \(y = \sin x\cos 2x\);

d) \(y = \sin x + \cos x\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(y = \sin 2x + \tan 2x\) có nghĩa khi \(\tan 2x\) có nghĩa.

\(\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\).

Vây tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\;\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}} \right\}\).

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - 2x} \right) + \tan \left( { - 2x} \right)\)

\(=  - \sin 2x - \tan 2x =  - \left( {\sin 2x + \tan 2x} \right) \)

\(=  - f\left( x \right)\), \(\forall x \in D\).

Vậy \(y = \sin 2x + \tan 2x\) là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \cos \left( { - x} \right) + {\sin ^2}\left( { - x} \right) \)

\( = \cos x + {( - \sin x)^2} = \cos x + {\sin ^2}x = f\left( x \right)\), \(\forall x \in D\).

Vậy \(y = \cos x + {\sin ^2}x\) là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right)\cos \left( { - 2x} \right) \)

\(=  - \sin x.\cos 2x =  - f\left( x \right)\), \(\forall x \in D\).

Vậy \(y = \sin x\cos 2x\) là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\).

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: \(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) + \cos \left( { - x} \right)\)

\(=  - \sin x + \cos x \ne \pm  f\left( x \right)\), \(\forall x \in D\).

Vậy \(y = \sin x + \cos x\) không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.

Cách nhận biết tập xác định có tính đối xứng

Xét ví dụ câu a) bài tập này, ta biểu diễn các điểm mà hàm số không xác định trên đường tròn lượng giác:

Bốn điểm A, B, C, D biểu diễn góc lượng giác \(x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\). Ta thấy các điểm nằm phía trên trục hoành đối xứng với các điểm nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành. Điều đó nghĩa là \(x \in D\) thì \( - x \in D\). Ta nói x ở đây là góc lượng giác, hai góc lượng giác đối nhau có điểm biểu diễn đối xứng qua trục hoành.

Vậy, để xác định tính đối xứng của tập xác định, ta biểu diễn tập xác định trên đường tròn lượng giác và xét xem chúng có đối xứng qua trục hoành hay không.