Giải mục 4 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 4

Cho hai hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}}$ và $y = g\left( x \right) = \sqrt {4 - x}$.

Hàm số $y = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ có liên tục tại $x = 2$ không? Giải thích.

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số $h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ tại $x = 2$:

Bước 1: Kiểm tra  x = 2 có thuộc tập xác định không. Tính $h\left( 2 \right)$.

Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right)$.

Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt $h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} + \sqrt {4 - x}$. Ta có:

$\begin{array}{l}h\left( 2 \right) = \frac{1}{{2 - 1}} + \sqrt {4 - 2}  = 1 + \sqrt 2 \\\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to x} \left( {\frac{1}{{x - 1}} + \sqrt {4 - x} } \right) = \frac{1}{{2 - 1}} + \sqrt {4 - 2}  = 1 + \sqrt 2 \end{array}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} h\left( x \right) = h\left( 2 \right)$ nên hàm số $y = f\left( x \right) + g\left( x \right)$ liên tục tại $x = 2$.

Quảng cáo

Thực hành 4

Xét tính liên tục của các hàm số:

a) $y = \sqrt {{x^2} + 1}  + 3 - x$;                                       

b) $y = \frac{{{x^2} - 1}}{x}.\cos x$.

Phương pháp giải:

Đưa hàm số thành tổng, hiệu, tích của hai hàm số rồi xét tính liên tục của hai hàm số đó.

Lời giải chi tiết:

a) TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Hàm số $y = \sqrt {{x^2} + 1}$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Hàm số $y = 3 - x$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Vậy hàm số $y = \sqrt {{x^2} + 1}  + 3 - x$ cũng liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

Hàm số $y = \frac{{{x^2} - 1}}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hàm số $y = \cos x$ là hàm lượng giác nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số $y = \cos x$ cũng liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số $y = \frac{{{x^2} - 1}}{x}.\cos x$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Vận dụng 3

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right)$ tâm $O$, bán kính bằng 1. Một đường thẳng $d$ thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm $M$ có hoành độ $x\left( { - 1 < x < 1} \right)$ và cắt đường tròn $\left( C \right)$ tại các điểm $N$ và $P$ (xem Hình 6).

a) Viết biểu thức $S\left( x \right)$ biểu thị diện tích của tam giác $ONP$.

b) Hàm số $y = S\left( x \right)$ có liên tục trên $\left( { - 1;1} \right)$ không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} S\left( x \right)$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} S\left( x \right)$.

Phương pháp giải:

a) Viết hàm số biểu thị phương trình đường tròn $\left( C \right)$, dựa vào dữ kiện của đề bài, tính $OM,NP$ sau đó tính diện tích $S\left( x \right)$ của tam giác $ONP$.

b) Sử dụng tính chất liên tục của các hàm số sơ cấp.

c) Áp dụng các công thức tính giới hạn của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow y =  \pm \sqrt {1 - {x^2}}$.

Độ dài $OM$ chính là giá trị tuyệt đối của hoành độ của điểm $M$. Vậy $OM = \left| x \right|$.

Độ dài $MN$ chính là giá trị tuyệt đối của tung độ của điểm $N$. Vậy $MN = \left| {\sqrt {1 - {x^2}} } \right| = \sqrt {1 - {x^2}}$.

$S\left( x \right) = {S_{ONP}} = \frac{1}{2}.NP.OM = MN.OM = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right|$.

b) Xét hàm số  $S\left( x \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\,0 \le x \le 1}\\{ - x\sqrt {1 - {x^2}} }&{khi\,\, - 1 \le x < 0}\end{array}} \right.$.

ĐKXĐ: $1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 1$

Hàm số $S\left( x \right)$ có tập xác định là $\left[ { - 1;1} \right]$.

Vậy hàm số $S\left( x \right)$ xác định trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$ nên liên tục trên các khoảng $\left( { - 1;0} \right)$ và $\left( {0;1} \right)$.

Ta có: $S\left( 0 \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) =  - 0.\sqrt {1 - {0^2}}  = 0$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} S\left( x \right) = 0$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} S\left( x \right) = 0 = S\left( 0 \right)$

Vậy hàm số $S\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0} = 0$. Vậy hàm số $S\left( x \right)$ liên tục trên $\left( { - 1;1} \right)$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) = 1.\sqrt {1 - {1^2}}  = 0$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} S\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \left( { - x\sqrt {1 - {x^2}} } \right) =  - 1.\sqrt {1 - {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = 0$