Bài 2 trang 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}}&{khi\,\,x \ne  - 2}\\a&{khi\,\,x =  - 2}\end{array}} \right.$.

Tìm $a$ để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Lời giải chi tiết

Trên các khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$, $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( { - 2} \right) = a$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x - 2} \right) =  - 2 - 2 =  - 4$

Để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ phải liên tục tại điểm ${x_0} =  - 2$.  Khi đó:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow a =  - 4$.

Vậy với $a =  - 4$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.