Bài 6 trang 85 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách $r$ ở tỉnh từ tâm của nó là

$F\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{GM{\rm{r}}}}{{{R^3}}}}&{khi\,\,0 < x < R}\\{\frac{{GM}}{{{r^2}}}}&{khi\,\,r \ge R}\end{array}} \right.$

trong đó $M$ là khối lượng, $R$ là bán kính của Trái Đất, $G$ là hằng số hấp dẫn.

Hàm số $F\left( r \right)$ có liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$ không?

Lời giải chi tiết

Hàm số $F\left( r \right)$ có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hàm số $F\left( r \right)$ xác định trên từng khoảng $\left( {0;R} \right)$ và $\left( {R; + \infty } \right)$ nên hàm số liên tục trên các khoảng đó.

Ta có: $F\left( R \right) = \frac{{GM}}{{{R^2}}}$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} \frac{{GM}}{{{r^2}}} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\\\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} \frac{{GMr}}{{{R^3}}} = \frac{{GMR}}{{{R^3}}} = \frac{{GM}}{{{R^2}}}\end{array}$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ + }} F\left( r \right) = \mathop {\lim }\limits_{r \to {R^ - }} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{R}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{r \to R} F\left( r \right) = \frac{{GM}}{R} = F\left( R \right)$.

Vậy hàm số $F\left( r \right)$ liên tục tại điểm ${r_0} = R$.

Vậy hàm số $F\left( r \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.