Giải mục 3 trang 54,55,56 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng biết một số điều kiện

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 54 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I({x_0};{y_0};{z_0})\) có \(\overrightarrow n (A;B;C)\) là vecto pháp tuyến. Giả sử M(x;y;z) là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P) (Hình 9)

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow n .\overrightarrow {IM} \)

b) Hãy biểu diễn \(\overrightarrow n .\overrightarrow {IM} \) theo \({x_0},{y_0},{z_0};x,y,z\) và A, B, C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow {IM}  = (x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0})\)

 \(\overrightarrow n .\overrightarrow {IM}  = A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0})\)

b) \(\overrightarrow n .\overrightarrow {IM}  = A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = Ax + By + Cz - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0}\)

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 55 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1;3;-2) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = (1;1;3),\overrightarrow v  = (2; - 1;2)\) (Hình 10)

a) Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng (P)

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1;3;-2) biết vecto pháp tuyển \(\overrightarrow n \)

Phương pháp giải:

a) Nếu hai vecto \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2};{z_2})\) là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow n  = [\overrightarrow u ;\overrightarrow v ] = \left( {\left| \begin{array}{l}{y_1}\;\;\;\;{z_1}\;\\{y_2}\;\;\;\;{z_2}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}{z_1}\;\;\;\;{x_1}\\{x_2}\;\;\;\;{z_1}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}{x_1}\;\;\;\;{y_1}\\{x_2}\;\;\;\;{y_2}\end{array} \right|} \right)\) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

b) Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I({x_0};{y_0};{z_0})\) và nhận \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n  = [\overrightarrow u ;\overrightarrow v ] = (5; - 4;3)\)

b) Phương trình mặt phẳng (P): \(5(x - 1) - 4(y - 3) + 3(z + 2) = 0 \Leftrightarrow 5x - 4y + 3z + 13 = 0\)

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 55 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho ba điểm H(-1;1;2), I(1;3;2), K(-1;4;5) cùng thuộc mặt phẳng (P) (Hình 11)

a) Tím tọa độ của các vecto \(\overrightarrow {HI} ,\overrightarrow {HK} \). Từ đó hãy chứng tỏ rằng ba điểm H, I, K không thẳng hàng

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H(-1;1;2), biết cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {HI} ,\overrightarrow {HK} \)

Phương pháp giải:

a) \(A({a_1};{a_2};{a_3}),B({b_1};{b_2};{b_3}) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})\)

b) Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\). Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I({x_0};{y_0};{z_0})\) và nhận \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow {HI}  = (2;2;0),\overrightarrow {HK}  = (0;3;3)\)

Có \(\overrightarrow {HI}  \ne k.\overrightarrow {HK} \) suy ra H, I, K không thẳng hàng

b) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n  = [\overrightarrow {HI} ;\overrightarrow {HK} ] = (6; - 6;6)\)

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(6(x + 1) - 6(y - 1) + 6(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6y + 6z = 0 \Leftrightarrow x - y + z = 0\)

Quảng cáo

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

close