Giải mục 3 trang 54,55,56 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 54 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I({x_0};{y_0};{z_0})\) có \(\overrightarrow n (A;B;C)\) là vecto pháp tuyến. Giả sử M(x;y;z) là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P) (Hình 9)

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow n .\overrightarrow {IM} \)

b) Hãy biểu diễn \(\overrightarrow n .\overrightarrow {IM} \) theo \({x_0},{y_0},{z_0};x,y,z\) và A, B, C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow {IM}  = (x - {x_0};y - {y_0};z - {z_0})\)

 \(\overrightarrow n .\overrightarrow {IM}  = A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0})\)

b) \(\overrightarrow n .\overrightarrow {IM}  = A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = Ax + By + Cz - A{x_0} - B{y_0} - C{z_0}\)

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 55 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1;3;-2) có cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow u  = (1;1;3),\overrightarrow v  = (2; - 1;2)\) (Hình 10)

a) Hãy chỉ ra một vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng (P)

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1;3;-2) biết vecto pháp tuyển \(\overrightarrow n \)

Phương pháp giải:

a) Nếu hai vecto \(\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2};{z_2})\) là cặp vecto chỉ phương của mặt phẳng (P) thì \(\overrightarrow n  = [\overrightarrow u ;\overrightarrow v ] = \left( {\left| \begin{array}{l}{y_1}\;\;\;\;{z_1}\;\\{y_2}\;\;\;\;{z_2}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}{z_1}\;\;\;\;{x_1}\\{x_2}\;\;\;\;{z_1}\end{array} \right|;\left| \begin{array}{l}{x_1}\;\;\;\;{y_1}\\{x_2}\;\;\;\;{y_2}\end{array} \right|} \right)\) là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

b) Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I({x_0};{y_0};{z_0})\) và nhận \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow n  = [\overrightarrow u ;\overrightarrow v ] = (5; - 4;3)\)

b) Phương trình mặt phẳng (P): \(5(x - 1) - 4(y - 3) + 3(z + 2) = 0 \Leftrightarrow 5x - 4y + 3z + 13 = 0\)

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 55 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho ba điểm H(-1;1;2), I(1;3;2), K(-1;4;5) cùng thuộc mặt phẳng (P) (Hình 11)

a) Tím tọa độ của các vecto \(\overrightarrow {HI} ,\overrightarrow {HK} \). Từ đó hãy chứng tỏ rằng ba điểm H, I, K không thẳng hàng

b) Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm H(-1;1;2), biết cặp vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {HI} ,\overrightarrow {HK} \)

Phương pháp giải:

a) \(A({a_1};{a_2};{a_3}),B({b_1};{b_2};{b_3}) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = ({b_1} - {a_1};{b_2} - {a_2};{b_3} - {a_3})\)

b) Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\). Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(I({x_0};{y_0};{z_0})\) và nhận \(\overrightarrow n  = (A;B;C)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(A(x - {x_0}) + B(y - {y_0}) + C(z - {z_0}) = 0\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\overrightarrow {HI}  = (2;2;0),\overrightarrow {HK}  = (0;3;3)\)

Có \(\overrightarrow {HI}  \ne k.\overrightarrow {HK} \) suy ra H, I, K không thẳng hàng

b) Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: \(\overrightarrow n  = [\overrightarrow {HI} ;\overrightarrow {HK} ] = (6; - 6;6)\)

Phương trình mặt phẳng (P) là: \(6(x + 1) - 6(y - 1) + 6(z - 2) = 0 \Leftrightarrow 6x - 6y + 6z = 0 \Leftrightarrow x - y + z = 0\)