Giải mục 3 trang 36, 37 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 36 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Trong Hình 3, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có \(\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\)? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Lời giải chi tiết:

Điểm biểu diễn góc lượng giác x có \(\cos x = \frac{{ - 1}}{2}\) là M và N.

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn M là: \(\frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Số đo góc lượng giác có điểm biểu diễn N là: \(\frac{{4\pi }}{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 37 SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

Giải các phương trình sau:

a) \(\cos x =  - 3\);

b) \(\cos x = cos{15^o}\);

c) \(\cos(x + \frac{\pi }{{12}}) = \cos\frac{{3\pi }}{{12}}\).

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ để trả lời.

Phương trình \(\cos x = m\):

- Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu \(\left| m \right| \le 1\) thì phương trình có nghiệm:

Khi \(\left| m \right| \le 1\) sẽ tồn tại duy nhất \(\alpha  \in \left[ {0;\pi } \right]\) thoả mãn \(\cos \alpha  = m\). Khi đó:

\(\cos x= m \Leftrightarrow \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha  + k2\pi \\x =  - \alpha  + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\(\cos x = \cos {\alpha ^o} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha ^o} + k{360^o}\\x =  - {\alpha ^o} + k{360^o}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \( - 1 \le \cos x \le 1\).

Vậy phương trình \(\cos x =  - 3\) vô nghiệm.

b) \(\cos x = \cos{15^o}  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {15^o} + k{360^o},k \in \mathbb{Z}\\x =  - {15^o} + k{360^o},k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = {15^o} + k{360^o}\) hoặc \(x =  - {15^o} + k{360^o},k \in \mathbb{Z}\).

c) \(\cos(x + \frac{\pi }{{12}}) = \cos\frac{{3\pi }}{{12}}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{{12}} = \frac{{3\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x + \frac{\pi }{{12}} =  - \frac{{3\pi }}{{12}} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\\x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi\), hoặc \(x =  - \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).