Giải mục 3 trang 25, 26 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Hoạt động 4

Cho hàm số $y = \sin x$.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$ bằng cách tính giá trị của $\sin x$ với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của $\sin x$ với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm $M\left( {x;\sin x} \right)$ với $x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]$ và nối lại ta được đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $\left[ { - \pi ;\pi } \right]$.

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kỳ $T = 2\pi$, ta được đồ thị của hàm số $y = \sin x$ như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số $y = \sin x$

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa hàm số chẵn lẻ

Dựa vào đồ thị để xác định tập giá trị, các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D

Ta có: $f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right) =  - \sin x =  - f\left( x \right),\;\forall x\; \in \;D$

Vậy $y = \sin x$ là hàm số lẻ.

b)

c) Từ đồ thị trên, ta thấy hàm số $y = \sin x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$, tập giá trị là [-1;1] và đồng biến trên mỗi khoảng $\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right),\;k\; \in \;\mathbb{Z}.$

Luyện tập 4

Tìm tập giá trị của hàm số $y = 2\sin x$.

Phương pháp giải:

Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$

Vì

$\Rightarrow$ Tập giá trị của hàm số $y = 2\sin x$ là $T = \left[ { - 2;2} \right]$.

Vận dụng

Xét tình huống mở đầu.

a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu

b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v > 0 và quá trình thở ra khi v < 0. Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? Người đó thở ra?

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính chu kỳ

Lời giải chi tiết:

a) Chu ký hô hấp: $T = \frac{{2\pi }}{\omega } = \frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{3}}} = 6\left( s \right)$

Số chu kỳ hô hấp trong 1 phút là $\frac{60}{6}=10$(chu kì).

b) Ta có: $v=0,85\sin \frac{\pi t}{3}$

+) v > 0 khi $0,85\sin \frac{\pi t}{3}>0\Leftrightarrow \sin \frac{\pi t}{3}>0$

Mà – 1 ≤ $\frac{\pi t}{3}$≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, $0<\sin \frac{\pi t}{3}\le 1$.

+) v < 0 khi $0,85\sin \frac{\pi t}{3}<0\Leftrightarrow \sin \frac{\pi t}{3}<0$.

Mà – 1 ≤ $\frac{\pi t}{3}$≤ 1 với mọi x ∈ ℝ. Do đó, −1 ≤ sin$\frac{\pi t}{3}$ < 0.

+) Với t ∈ (0; 3) ta có 0 < sin$\frac{\pi t}{3}$  ≤ 1.

+) Với t ∈ (3; 5] ta có −1 ≤  sin$\frac{\pi t}{3}$ < 0.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra.