Giải mục 2 trang 23, 24, 25 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 23 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\) và \(g\left( x \right) = {x^3}\), với các đồ thị như hình dưới đây.

a) Tìm các tập xác định \({D_f},\;{D_g}\) của các hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\).

b) Chứng tỏ rằng \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),\;\forall x \in {D_f}\). Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) đối với hệ trục tọa độ Oxy?

c) Chứng tỏ rằng \(g\left( { - x} \right) =  - g\left( x \right),\;\forall x \in {D_g}\). Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\) đối với hệ trục tọa độ Oxy?

Phương pháp giải:

Hàm số \(f\left( x \right)\) và \(g\left( x \right)\) luôn xác định với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định của hàm số đã cho là: \({D_f} = \mathbb{R};\;{D_g} = \mathbb{R}\).

b) Ta có: \(f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} = {x^2} = f\left( x \right)\).

Đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) đối xứng qua trục tung.

c) Ta có: \(g\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^3} =  - {x^3} =  - g\left( x \right)\).

Đồ thị của hàm số \(y = g\left( x \right) = {x^3}\) đối xứng qua gốc tọa độ.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 24 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{x}\).

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định tính đối xứng của tập xác định.

- Nếu \(\forall x \in D\) ta có \( - x \in D\) thì tập xác định có tính đối xứng, ta làm tiếp Bước 2.

- Nếu \(\exists x \in D\) mà \( - x \notin D\), kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.

Bước 2: Xét tính chẵn, lẻ.

- Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số đã cho là hàm số chẵn.

- Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\;\backslash \left\{ 0 \right\}\).

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: \(g\left( { - x} \right) = \frac{1}{{ - x}} =  - \frac{1}{x} =  - g\left( x \right),\;\forall x \in D\).

Vậy \(g\left( x \right) = \frac{1}{x}\) là hàm số lẻ.

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 24 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

So sánh:

a) \(\sin \left( {x + 2\pi } \right)\) và \(\sin x\);

b) \(\cos (x + 2\pi )\) và \(\cos x\);

c) \(\tan \left( {x + \pi } \right)\) và \(\tan x\);

d) \(\cot (x + \pi )\) và \(\cot x\).

Phương pháp giải:

Sử dụng quan hệ giữa giá trị lượng giác của hai góc hơn kém nhau \(\pi\) đã học ở lớp 10:

\(\sin(\alpha +\pi )= -\sin \alpha \);

\(\cos(\alpha +\pi )= - \cos \alpha\);

\(\tan(\alpha +\pi )= \tan \alpha\);

\(\cot(\alpha +\pi )= \cot \alpha\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\sin(x + 2\pi) = \sin[\pi + (x + \pi)] $

$= -\sin(x + \pi) = -(-\sin x) = \sin x$.

Vậy $\sin(x + 2\pi) = \sin x$.

b) Ta có: $\cos(x + 2\pi) = \cos[\pi + (x + \pi)]$

$= -\cos(x + \pi) = -(-\cos x) = \cos x$.

Vậy $\cos(x + 2\pi) = \cos x$.

c) Ta có: $\tan(x + \pi) = \tan(\pi + x) = \tan x$.

Vậy $\tan(x + \pi) = \tan x$.

d) Ta có: $\cot(x + \pi) = \cot(\pi + x) = \cot x$.

Vậy $\cot(x + \pi) = \cot x$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 25 SGK Toán 11 Kết nối tri thức

Xét tính tuần hoàn của hàm số \(y = \tan 2x\).

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \tan \left( {ax + b} \right)\) tuần hoàn với chu kỳ \(T = \frac{\pi }{{\left| a \right|}}\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi,\;k\in \mathbb{Z}} \right\}\) và với mọi số thực x, ta có:

\(\left( {x - \frac{\pi }{2}} \right) \in \mathbb{R}\), \(\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) \in \mathbb{R}\),

\(\tan 2\left( {x + \frac{\pi }{2}} \right) = \tan \left( {2x + \pi } \right) = \tan 2x\).

Vậy \(y = \tan 2x\) là hàm số tuần hoàn.