Giải mục 2 trang 100, 101 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 100 SGK Toán 12 Cánh diều

Xét hai biến cố A, B trong Hoạt động 1.

a) Tính P(A), P(B), \(P\left( {A|B} \right)\) và \(P\left( {B|A} \right)\).

b) So sánh: \(P\left( {B|A} \right)\) và \(\frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về định nghĩa xác suất có điều kiện để tính: Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P(A|B). Nếu \(P\left( B \right) > 0\) thì \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{8}{{24}} = \frac{1}{3};P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{6}{{24}} = \frac{1}{4}\);

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( B \right)}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};P\left( {B|A} \right) = \frac{{n\left( {A \cap B} \right)}}{{n\left( A \right)}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

b) Ta có: \(\frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{\frac{1}{4}.\frac{1}{3}}}{{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{4} = P\left( {B|A} \right)\).

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 101 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hai biến cố A, B sao cho \(P\left( A \right) = 0,4,P\left( B \right) = 0,8;P\left( {B|A} \right) = 0,3.\) Tính \(P\left( {A|B} \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Với hai biến cố A, B mà \(P\left( A \right) > 0,P\left( B \right) > 0\), ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).

Lời giải chi tiết:

Theo công thức Bayes ta có: \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4.0,3}}{{0,8}} = 0,15\).

LT4

Trả lời câu hỏi Luyện tập 4 trang 101 SGK Toán 12 Cánh diều

Được biết có 5% đàn ông bị mù màu, và 0,25% phụ nữ bị mù màu (Nguồn: F. M. Dekking et al., A modern introduction to probability and statistics – Understanding why and how, Springer, 2005). Giả sử số đàn ông bằng số phụ nữ. Chọn một người bị mù màu một cách ngẫu nhiên. Hỏi xác suất để người đó là đàn ông là bao nhiêu?

Phương pháp giải:

+ Sử dụng kiến thức về công thức Bayes để tính: Với hai biến cố A, B mà \(P\left( A \right) > 0,P\left( B \right) > 0\), ta có: \(P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( A \right)}}\).

+ Sử dụng kiến thức về công thức xác suất toàn phần để tính: Cho hai biến cố A và B với \(0 < P\left( B \right) < 1\), ta có \(P\left( A \right) = P\left( {A \cap B} \right) + P\left( {A \cap \overline B } \right) = P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)\).

Lời giải chi tiết:

Xét hai biến cố: A: “Người được chọn là đàn ông”, B: “Người được chọn bị mù màu”.

Khi đó, ta có: \(P\left( A \right) = P\left( {\overline A } \right) = 0,5,P\left( {B|A} \right) = 0,05,P\left( {B|\overline A } \right) = 0,0025\).

Theo công thức Bayes ta có, xác suất để một người mù màu được chọn là đàn ông là:

\(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}\)\( = \frac{{0,5.0,05}}{{0,5.0,05 + 0,5.0,0025}} \approx 0,9524\).