Giải mục 1 trang 95 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ 1

a) Gọi \(g\left( x \right)\) là đạo hàm của hàm số \(y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\). Tìm \(g\left( x \right)\).

b) Tính đạo hàm của hàm số \(y = g\left( x \right)\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\left( {\sin u} \right)' = u'.\cos u\); \(\left( {\cos u} \right)' =  - u'.\sin u\).

Lời giải chi tiết:

a) \(g'\left( x \right) = {\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)'}.\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) \)

\(= 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

b) \(g'\left( x \right) =  - 2{\left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)'}.\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

\(=  - 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

LT 1

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) \(y = x{e^{2x}}\);

b) \(y = \ln \left( {2x + 3} \right)\).

Phương pháp giải:

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại mỗi điểm \(x \in \left( {a;b} \right)\). Nếu hàm số \(y' = f'\left( x \right)\) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của \(y'\) là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại x, kí hiệu là \(y''\) hoặc \(f''\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

a) \(y' = x'.{e^{2x}} + x.({e^{2x}})'\)

\( = 1.{e^{2x}} + x.(2x)'.{e^{2x}}\)

\( = {e^{2x}} + 2x{e^{2x}}\).

\(y'' = (2x)'.{e^{2x}} + 2'.(x{e^{2x}}) + 2.(x{e^{2x}})'\)

\( = 2{e^{2x}} + 0.(x{e^{2x}}) + 2\left[ {x'.({e^{2x}}) + x.({e^{2x}})'} \right]\)

\( = 2{e^{2x}} + 2\left[ {1.({e^{2x}}) + x.(2x)'.{e^{2x}}} \right]\)

\( = 2{e^{2x}} + 2\left( {{e^{2x}} + 2x{e^{2x}}} \right)\)

\( = 2{e^{2x}} + 2{e^{2x}} + 4x{e^{2x}}\)

\( = 4{e^{2x}} + 4x{e^{2x}}\).

b) \(y' = \frac{{\left( {2x + 3} \right)'}}{{2x + 3}} = \frac{2}{{2x + 3}}\).

\(y'' = \frac{{2'.(2x - 3) - 2.\left( {2x + 3} \right)'}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{0.(2x - 3) - 2.2}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)

\( = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\).