Giải mục 1 trang 42, 43 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

a) Dùng định nghĩa tỉnh đạo hàm của hàm số \(y = x\) tại điểm \(x = {x_0}\).

b) Nhắc lại đạo hàm của các hàm số \(y = {x^2},y = {x^3}\) đã tìm được ở bài học trước. Từ đó, dự đoán đạo hàm của hàm số \(y = {x^n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\).

Phương pháp giải:

Tính giới hạn \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).

Lời giải chi tiết:

a) Với bất kì \({x_0} \in \mathbb{R}\), ta có:

\(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1 = 1\)

Vậy \(f'\left( x \right) = {\left( x \right)^\prime } = 1\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2{\rm{x}}\\{\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2}\\...\\{\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{{\rm{x}}^{n - 1}}\end{array}\)

Thực hành 1

Tính đạo hàm của hảm số \(y = {x^{10}}\) tại \(x =  - 1\) và \(x = \sqrt[3]{2}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{{\rm{x}}^{n - 1}}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\left( {{x^{10}}} \right)^\prime } = 10{{\rm{x}}^9}\)

Từ đó: \(y'\left( { - 1} \right) = 10.{\left( { - 1} \right)^9} =  - 10\) và \(y'\left( {\sqrt[3]{2}} \right) = 10.{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)^9} = 80\).