Giải đề thi học kì 2 toán lớp 10 năm 2019 - 2020 trường THPT Yên Hòa - Hà Nội

Đề bài

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM (4 điểm).

Hãy chọn và ghi lại chữ cái trước đáp án mà em chọn vào bài làm.

Câu 1: Trong các cung lượng giác có số đo sau, cung nào có cùng điểm cuối với cung có số đo $\dfrac{{13\pi }}{4}?$

A. $\dfrac{{3\pi }}{4}$

B. $- \dfrac{{3\pi }}{4}$

C. $- \dfrac{\pi }{4}$

D. $\dfrac{\pi }{4}$

Câu 2: Cho $\sin \alpha  = \dfrac{1}{2},$ giá trị của biểu thức $P = 3{\cos ^2}\alpha  + 4{\sin ^2}\alpha$ bằng

A. $\dfrac{{13}}{4}$

B. $\dfrac{7}{4}$

C. $\dfrac{{15}}{4}$

D. $7$

Câu 3: Cho $A,B,C$ là ba góc của một tam giác. Khằng định nào sau đây là sai?

A. $\cos \left( {A + B} \right) =  - \cos C$

B. $\cot \dfrac{A}{2} = \tan \left( {\dfrac{{B + C}}{2}} \right)$

C. $\cos \left( {A + C} \right) - \cos B = 0$

D. $\cos \left( {2A + B + C} \right) =  - \cos A$

Câu 4: Cho điểm $B\left( {0;3} \right)$ và đường thẳng $\Delta :x - 5y - 2 = 0$. Đường thẳng đi qua B và song song với $\Delta$ có phương trình là:

A. $x - 5y - 15 = 0$

B. $5x + y - 3 = 0$

C. $5x - y + 3 = 0$

D. $x - 5y + 15 = 0$

Câu 5: Trong mặt phẳng $Oxy,$ tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\left( \Delta  \right):2x + y - 3 = 0$ và $\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\end{array} \right.$  là

A. $\left( {0;3} \right)$

B. $\left( { - 2;1} \right)$

C. $\left( {3;0} \right)$

D. $\left( {2; - 1} \right)$

Câu 6: Phương trình tiếp tuyến tại điểm $M\left( {3;4} \right)$ với đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 3 = 0$ là

A. $x - y - 7 = 0$

B. $x + y + 7 = 0$

C. $x + y - 7 = 0$

D. $x + y - 3 = 0$

Câu 7: Cho Elip $\left( E \right)$ có phương trình chính tắc là: $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1.$ Khẳng định nào sau đây là sai ?

A. Tâm sai của $\left( E \right)$ là $e = \dfrac{5}{4}$.

B. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục lớn là $A\left( {5;0} \right),A'\left( { - 5;0} \right)$.

C. Độ dài tiêu cự là $8.$

D. Tọa độ các đỉnh nằm trên trục nhỏ là $B\left( {0;3} \right),B'\left( {0; - 3} \right)$.

Câu 8: Cho nhị thức $f\left( x \right) = ax + b,a \ne 0$ và số $\alpha$ thỏa mãn điều kiện $a.f\left( \alpha  \right) < 0$. Khi đó:

A. $a > \dfrac{{ - b}}{a}$

B. $\alpha  < \dfrac{b}{a}$

C. $\alpha  > \dfrac{b}{a}$

D. $\alpha  < \dfrac{{ - b}}{a}$

Câu 9: Giá trị của $m$ để hàm số $y = \left( {2m - 1} \right)x + 1$ luôn đồng biến là

A. $m =  - \dfrac{1}{2}$

B. $m = \dfrac{1}{2}$

C. $m > \dfrac{1}{2}$

D. $m < \dfrac{1}{2}$

Câu 10: Bảng xét dấu sau là của biểu thức $f\left( x \right)$ nào dưới đây?

 

A. $f\left( x \right) =  - {x^2} + x - 6$

B. $f\left( x \right) = {x^2} + x - 6$

C. $f\left( x \right) =  - {x^2} - x + 6$

D. $f\left( x \right) = {x^2} - x - 6$

Câu 11: Tập nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 < 0\\ - 6x + 12 > 0\end{array} \right.$ là

A. $\left( {1;3} \right)$

B. $\left( {1;2} \right)$

C. $\left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$

D. $\left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$

Câu 12: Cho $\cos a =  - \dfrac{5}{{13}}$ và $\pi  < a < \dfrac{{3\pi }}{2}$. Tính $\sin 2a$.

A. $\sin 2a =  - \dfrac{{120}}{{169}}$

B. $\sin 2a =  \pm \dfrac{{120}}{{169}}$

C. $\sin 2a = \dfrac{{119}}{{169}}$

D. $\sin 2a = \dfrac{{120}}{{169}}$

Câu 13: Đẳng thức nào sau đây là sai? (với điều kiện các biểu thức xác đinh)

A. $\cos \left( {\alpha  - \beta } \right)$ $= \cos \alpha \cos \beta  - \sin \alpha \sin \beta$

B. $\sin \left( {\alpha  - \beta } \right)$ $= \sin \alpha \cos \beta  - \cos \alpha \sin \beta$

C. $\sin \left( {\alpha  + \beta } \right)$ $= \sin \alpha \cos \beta  + \cos \alpha \sin \beta$

D. $\tan \left( {\alpha  - \beta } \right) = \dfrac{{\tan \alpha  - \tan \beta }}{{1 + \tan \alpha .\tan \beta }}$

Câu 14: Biểu thức $A = \dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}}$ được rút gọn thành

A. $\tan x$

B. $2\cot x$

C. $\cot x$

D. $\tan 2x$

Câu 15: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:x - 2y + 3 = 0$ và ${\Delta _2}:x + 3y - 5 = 0$

A. ${60^0}$

B. ${45^0}$

C. ${30^0}$

D. ${135^0}$

Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn có tâm $I\left( {1;3} \right)$ và bán kính bằng $3$?

A. ${x^2} + {y^2} - 2x - 6y = 0$

B. ${x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 1 = 0$

C. ${x^2} + {y^2} - 2x + 3y = 0$

D. ${x^2} + {y^2} - 3y - 8 = 0$

PHẦN II: TỰ LUẬN (6 điểm).

Câu 17: (1,5 điểm)

a) (0,75 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x$.

$A = \sin \left( {x + 3\pi } \right) + \cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{2} - x} \right)$ $+ \tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \cot \left( {x + 5\pi } \right)$

b) (0,75 điểm) Rút gọn biểu thức

$B = \dfrac{{\sin 3x\cos x + \sin 2x - \cos 3x\sin x}}{{2\cos x}}$

Câu 18: (1,5 điểm)

Cho $f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 1$.

Tìm các giá trị của m để bất phương trình $f\left( x \right) < 0$ vô nghiệm.

Câu 19: (2,5 điểm)

Cho điểm A(1; 3) và đường tròn $\left( C \right)$ có tâm I có phương trình ${x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0$.

a) (1 điểm) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AI.

b) (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ kẻ từ điểm A.

c) (0,5 điểm) Tìm tất cả các điểm $J$ nằm trên đường thẳng $x =  - 1$ sao cho ba điểm $A,I,J$ tạo thành tam giác cân tại $A$

Câu 20: (0,5 điểm)

Cho hai số $x,y$ thỏa mãn $4{x^2} + {y^2} = 4$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $M = {x^2} - 3xy + 2{y^2}$.

Lời giải chi tiết

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Thực hiện: Ban chuyên môn Loigiaihay.com

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM

Câu 1 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng hai cung lượng giác hơn kém nhau $k2\pi$ có cùng điểm cuối với nhau

Cách giải:

Ta thấy $\dfrac{{13\pi }}{4} - \left( { - \dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \dfrac{{16\pi }}{4} = 4\pi$ $= 2.2\pi$ nên hai cung có số đo $\dfrac{{13\pi }}{4}$ và $- \dfrac{{3\pi }}{4}$ có cùng điểm cuối.

Chọn B

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$

Cách giải:

Ta có:

 $\begin{array}{l}P = 3{\cos ^2}\alpha  + 4{\sin ^2}\alpha \\ = 3{\cos ^2}\alpha  + 3{\sin ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha \\ = 3\left( {{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \right) + {\sin ^2}\alpha \\ = 3.1 + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{{13}}{4}\end{array}$

Chọn A

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng mối quan hệ giữa các cung đặc biệt

$\begin{array}{l}\cos \alpha  =  - \cos \left( {\pi  - \alpha } \right)\\\cot \alpha  = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\\cos \alpha  =  - \cos \left( {\pi  + \alpha } \right)\\\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \end{array}$

Cách giải:

Ta có $\widehat A + \widehat B + \widehat C = \pi$ nên:

$\cos \left( {A + B} \right) = \cos \left( {\pi  - C} \right)$ $=  - \cos C$, do đó A đúng

$\cot \dfrac{A}{2} = \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - \dfrac{A}{2}} \right)$ $= \tan \left( {\dfrac{{A + B + C - A}}{2}} \right) = \tan \dfrac{{B + C}}{2}$ nên B đúng

$\cos \left( {A + C} \right) = \cos \left( {\pi  - B} \right)$ $=  - \cos B$ nên $\cos \left( {A + C} \right) + \cos B = 0$, do đó C sai

$\cos \left( {2A + B + C} \right)$ $= \cos \left( {A + A + B + C} \right)$ $= \cos \left( {\pi  + A} \right) =  - \cos A$ nên D đúng

Chọn C

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

Đường thẳng đi qua $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và có 1 VTPT $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ có phương trình: $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0$

Cách giải:

Đường thẳng $d$ song song với $\Delta :x - 5y - 2 = 0$ có dạng $x - 5y + c = 0$ với $c \ne  - 2$

Lại có $B \in d$ nên $0 - 5.3 + c = 0 \Leftrightarrow c = 15$ (thỏa mãn)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là $x - 5y + 15 = 0$

Chọn D

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

Giải hệ phương trình gồm 2 phương trình đường thẳng ta có tọa độ giao điểm cần tìm

Cách giải:

Tọa độ giao điểm $\left( {x;y} \right)$ của $\left( \Delta  \right)$ và $\left( d \right)$ là nghiêm của hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 3 = 0\\x = 3 + t\\y = t\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\\2\left( {3 + t} \right) + t - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = t\\3t + 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\x = 2\\y =  - 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là $\left( {2; - 1} \right)$

Chọn D

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ của đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$ nhận $\overrightarrow {IM}  = \left( {{x_0} - a;{y_0} - b} \right)$ làm VTPT là: $\left( {{x_0} - a} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{y_0} - b} \right)\left( {y - {y_0}} \right) = 0$

Cách giải:

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;2} \right)$

Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $M\left( {3;4} \right)$ là:

$\left( {3 - 1} \right)\left( {x - 3} \right) + \left( {4 - 2} \right)\left( {y - 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 2x + 2y - 14 = 0$ $\Leftrightarrow x + y - 7 = 0$

Chọn C

Câu 7 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: Elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)$

Có ${c^2} = {a^2} - {b^2}$

Tâm sai $e = \dfrac{c}{a}$

Tiêu cự có độ dài $2c$

Các đỉnh của $\left( E \right)$ có tọa độ là $\left( {a;0} \right),\left( { - a;0} \right),$ $\left( {0;b} \right),\left( {0; - b} \right)$

Cách giải:

Elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ có $a = 5;b = 3$ $\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 4$

Nên tâm sai $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}$ , do đó A sai.

Chọn A

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Thay $\alpha$ vào $f\left( a \right)$ rồi giải bất phương trình thu được

Cách giải:

Ta có: $a.f\left( \alpha  \right) < 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow a.\left( {a\alpha  + b} \right) < 0\\ \Leftrightarrow {a^2}\alpha  + ab < 0\\ \Leftrightarrow {a^2}\alpha  <  - ab\end{array}$

$\Leftrightarrow \alpha  <  - \dfrac{{ab}}{{{a^2}}}$ (vì ${a^2} > 0$ với $a \ne 0$)

$\Leftrightarrow \alpha  <  - \dfrac{b}{a}$

Chọn D

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Hàm số $y = ax + b$ đồng biến khi $a > 0$

Cách giải:

Hàm số $y = \left( {2m - 1} \right)x + 1$ đồng biến khi $2m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{1}{2}$

Chọn C

Câu 10 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc xét dấu tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1} < {x_2}$

Nếu $a < 0$ thì $f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < {x_1}\\x > {x_2}\end{array} \right.$  và $f\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow {x_1} < x < {x_2}$

Cách giải:

Từ bảng xét dấu suy ra tam thức cần tìm có hệ số $a < 0$  và có hai nghiệm $x =  - 3;x = 2$

Vì $a < 0$ nên ta loại B và D

Thay $x = 2$ vào hai hàm số ở A và C ta thấy ở đáp án A có $f\left( 2 \right) =  - {2^2} + 2 - 6$ $=  - 8 \ne 0$ và đáp án C có $f\left( 2 \right) =  - {2^2} - 2 + 6 = 0$, nên loại A, chọn C.

Chọn C

Câu 11 (TH):

Phương pháp:

Giải hai bất phương trình rồi lấy giao hai tập nghiệm

Cách giải:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 3 < 0\\ - 6x + 12 > 0\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) < 0\\ - 6x >  - 12\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < x < 3\\x < 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow 1 < x < 2\end{array}$

Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm $S = \left( {1;2} \right)$

Chọn B

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$ và $\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha$

Cách giải:

Ta có: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( { - \dfrac{5}{{13}}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha  = \dfrac{{144}}{{169}}\end{array}$

$\Rightarrow \sin \alpha  =  - \dfrac{{12}}{{13}}$ (do $\pi  < \alpha  < \dfrac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha  < 0$)

Khi đó $\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha$ $= 2.\dfrac{{ - 12}}{{13}}.\dfrac{{ - 5}}{{13}} = \dfrac{{120}}{{169}}$

Chọn D

Câu 13 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng các công thức:

$\begin{array}{l}\sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b\\\cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b\end{array}$

Cách giải:

Ta có $\cos \left( {\alpha  - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta  + \sin a\sin \beta$ nên A sai.

Chọn A

Câu 14 (VD):

Phương pháp:

Sử  dụng công thức $\cos 2\alpha  = 2{\cos ^2}\alpha  - 1$$= 1 - 2{\sin ^2}\alpha$ và $\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha$

Cách giải:

Ta có:

$A = \dfrac{{1 + \sin 2x + \cos 2x}}{{1 + \sin 2x - \cos 2x}}$ $= \dfrac{{1 + \sin 2x + 2{{\cos }^2}x - 1}}{{1 + \sin 2x - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)}}$

$= \dfrac{{2\sin x\cos  + 2{{\cos }^2}x}}{{2\sin x\cos x + 2{{\sin }^2}x}}$ $= \dfrac{{2\cos x\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{2\sin x\left( {\cos x + \sin x} \right)}}$ $= \dfrac{{\cos x}}{{\sin x}} = \cot x$

Chọn C

Câu 15 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng: Góc giữa ${\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0$ và ${\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0$ là $\alpha$

Ta có: $\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$

Cách giải:

Gọi góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1};{\Delta _2}$ là $\alpha$

Ta có: $\cos \alpha  = \dfrac{{\left| {1.1 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}$ $= \dfrac{5}{{5\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

Suy ra $\alpha  = {45^0}$ .

Chọn B

Câu 16 (NB):

Phương pháp:

Phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$ và bán kính $R$ là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$

Cách giải:

Phương trình đường tròn tâm $I\left( {1;3} \right)$ và bán kính bằng $3$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9$

$\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 1 = 0$

Chọn B

PHẦN II: TỰ LUẬN (6 điểm)

Câu 17 (VD):

Phương pháp:

a) Sử dụng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt để rút gọn biểu thức.

b) Sử dụng công thức cộng và công thức nhân đôi:

$\sin \left( {a - b} \right)$ $= \sin a\cos b - \sin b\cos a$

$\sin 2a = 2\sin a\cos a$

Cách giải:

a) (0,75 điểm) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $x$.

$A = \sin \left( {x + 3\pi } \right) + \cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{2} - x} \right)$ $+ \tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right) + \cot \left( {x + 5\pi } \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l} + )\,\sin \left( {x + 3\pi } \right)\\ = \sin \left( {x + \pi  + 2\pi } \right)\\ = \sin \left( {x + \pi } \right) =  - \sin x\\ + )\,\,\cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{2} - x} \right)\\ = \cos \left( {2\pi  + \dfrac{\pi }{2} - x} \right)\\ = \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\\ + )\,\tan \left( {\dfrac{{3\pi }}{2} + x} \right)\\ = \tan \left( {2\pi  - \dfrac{\pi }{2} + x} \right)\\ = \tan \left( { - \dfrac{\pi }{2} + x} \right)\\ = \tan \left[ { - \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)} \right]\\ =  - \tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) =  - \cot x\\ + )\,\cot \left( {x + 5\pi } \right) = \cot x\end{array}$

$\Rightarrow A =  - \sin x + \sin x - \cot x + \cot x$ $= 0$

b) (0,75 điểm) Rút gọn biểu thức

$\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sin 3x\cos x + \sin 2x - \cos 3x\sin x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{\left( {\sin 3x\cos x - \cos 3x\sin x} \right) + \sin 2x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{\sin \left( {3x - x} \right) + \sin 2x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{\sin 2x + \sin 2x}}{{2\cos x}}\\ = \dfrac{{2\sin 2x}}{{2\cos x}} = \dfrac{{\sin 2x}}{{\cos x}}\\ = \dfrac{{2\sin x\cos x}}{{\cos x}} = 2\sin x\end{array}$

Câu 18 (VD):

Phương pháp:

Chia hai trường hợp ${m^2} - 4 = 0$ và ${m^2} - 4 \ne 0$.

BPT $f\left( x \right) < 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0$ luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.$

Cách giải:

Cho $f\left( x \right) = \left( {{m^2} - 4} \right){x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 1$.

Tìm các giá trị của m để bất phương trình $f\left( x \right) < 0$ vô nghiệm.

TH1: ${m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 2\end{array} \right.$

+) Nếu $m = 2$ thì $f\left( x \right) = 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên bpt $f\left( x \right) < 0$ vô nghiệm (thỏa mãn)

+) Nếu $m =  - 2$ thì $f\left( x \right) =  - 4x + 1$.

$\begin{array}{l}f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow  - 4x + 1 < 0\\ \Leftrightarrow  - 4x <  - 1 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{4}\end{array}$

Do đó bpt có nghiệm $x > \dfrac{1}{4}$ (không thỏa mãn).

TH2: ${m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 2$

Khi đó bpt $f\left( x \right) < 0$ $\Leftrightarrow f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta  \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 > 0\\{\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 4} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\{m^2} - 4m + 4 - 4{m^2} + 16 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\ - 3{m^2} - 4m + 20 \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - \dfrac{{10}}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Kết hợp với $m = 2$ ta được $m \ge 2$ hoặc $m <  - \dfrac{{10}}{3}$.

Câu 19 (VD):

Phương pháp:

a) Tìm tọa độ $\overrightarrow {AI}$ suy ra tọa độ VTPT của AI.

Từ đó viết được phương trình đường thẳng đi qua A và I.

Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ làm VTPT là:

$a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0$

b) Gọi $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ là VTPT của tiếp tuyến $\Delta$.

Viết dạng phương trình của $\Delta$ đi qua điểm $A$.

Sử dụng điều kiện $\Delta$ là tiếp tuyến với $\left( C \right)$ thì $d\left( {I,\Delta } \right) = R$ để tìm mối quan hệ giữa a và b.

c) Gọi $J\left( { - 1;m} \right)$ thuộc đường thẳng $x =  - 1$.

Sử dụng điều kiện $\Delta AIJ$ cân tại A thì $AI = AJ$ tìm $m$.

Kiểm tra lại điểm J tìm được có thỏa mãn bài toán hay không.

Cách giải:

Cho điểm A(1; 3) và đường tròn $\left( C \right)$ có tâm I có phương trình ${x^2} + {y^2} - 6x + 2y + 6 = 0$.

a) (1 điểm) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AI.

Đường $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3; - 1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AI}  = \left( {2; - 4} \right)$ $\Rightarrow \overrightarrow {{n_{AI}}}  = \left( {4;2} \right)$ là một VTPT của $AI$.

Mà AI đi qua $A\left( {1;3} \right)$ nên có phương trình tổng quát:

$\begin{array}{l}4\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4x - 4 + 2y - 6 = 0\\ \Leftrightarrow 4x + 2y - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 2x + y - 5 = 0\end{array}$

Vậy $AI:2x + y - 5 = 0$.

b) (1 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ kẻ từ điểm A.

Đường $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3; - 1} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - 6}  = 2$.

Gọi $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ là VTPT của tiếp tuyến $\Delta$.

$\Delta$ đi qua $A\left( {1;3} \right)$ nên phương trình $\Delta$ có dạng:

$\begin{array}{l}a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow ax - a + by - 3b = 0\\ \Leftrightarrow ax + by - a - 3b = 0\end{array}$

$\Delta$ là tiếp tuyến với $\left( C \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = R\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {3a - b - a - 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2a - 4b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\\ \Leftrightarrow \left| {2\left( {a - 2b} \right)} \right| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow \left| {a - 2b} \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 4ab + 4{b^2} = {a^2} + {b^2}\\ \Leftrightarrow  - 4ab + 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow b\left( { - 4a + 3b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\3b = 4a\end{array} \right.\end{array}$

TH1: $b = 0$, chọn $a = 1$ ta được $\Delta :x - 1 = 0$.

TH2: $3b = 4a$, chọn $a = 3,b = 4$ ta được $\Delta :3x + 4y - 15 = 0$.

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ${\Delta _1}:x - 1 = 0$ và ${\Delta _2}:3x + 4y - 15 = 0$.

c) (0,5 điểm) Tìm tất cả các điểm $J$ nằm trên đường thẳng $x =  - 1$ sao cho ba điểm $A,I,J$ tạo thành tam giác cân tại $A$

Gọi $J\left( { - 1;m} \right)$ nằm trên đường thẳng $x =  - 1$.

Ta có: $AI = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5$

$AJ = \sqrt {{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {m - 3} \right)}^2}}$ $= \sqrt {4 + {{\left( {m - 3} \right)}^2}}$

Tam giác AIJ cân tại A

$\begin{array}{l} \Rightarrow AI = AJ\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 5  = \sqrt {4 + {{\left( {m - 3} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow 20 = 4 + {\left( {m - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 16 = {\left( {m - 3} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 4\\m - 3 =  - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 7\\m =  - 1\end{array} \right.\end{array}$

Với $m = 7$ ta được $J\left( { - 1;7} \right)$.

Dễ thấy $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x_I} + {x_J}}}{2} = \dfrac{{3 + \left( { - 1} \right)}}{2} = 1 = {x_A}\\\dfrac{{{y_I} + {y_J}}}{2} = \dfrac{{ - 1 + 7}}{2} = 3 = {y_A}\end{array} \right.$ nên A là trung điểm của IJ (loại).

Với $m =  - 1$ ta được $J\left( { - 1; - 1} \right)$ (TM)

Vậy $J\left( { - 1; - 1} \right)$.

Chú ý:

Một số em có thể sẽ quên kiểm tra lại điểm J và chọn cả hai điểm là sai.

Câu 20 (VDC):

Phương pháp:

 Đặt $\left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\y = 2\cos t\end{array} \right.$ thay vào M và tìm GTLN, GTNN của biểu thức.

Cách giải:

Cho hai số $x,y$ thỏa mãn $4{x^2} + {y^2} = 4$.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $M = {x^2} - 3xy + 2{y^2}$.

Ta có: $4{x^2} + {y^2} = 4$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} \le 4\\{y^2} \le 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 1\\{y^2} \le 4\end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\ - 2 \le y \le 2\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}4{x^2} + {y^2} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^2} = 1\end{array}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\\dfrac{y}{2} = \cos t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \sin t\\y = 2\cos t\end{array} \right.$

Ta có:

$M = {x^2} - 3xy + 2{y^2}$

$\begin{array}{l} = {\left( {\sin t} \right)^2} - 3.\sin t.2\cos t + 2{\left( {2\cos t} \right)^2}\\ = {\sin ^2}t - 3\sin 2t + 8{\cos ^2}t\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t}}{2} - 3\sin 2t + 8.\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t - 6\sin 2t + 8\left( {1 + \cos 2t} \right)}}{2}\\ = \dfrac{{1 - \cos 2t - 6\sin 2t + 8 + 8\cos 2t}}{2}\\ = \dfrac{{9 + 7\cos 2t - 6\sin 2t}}{2}\end{array}$

Xét $N = 7\cos 2t - 6\sin 2t$.

Áp dụng BĐT ${\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)$ ta có:

$\begin{array}{l}{N^2} = {\left( {7\cos 2t - 6\sin 2t} \right)^2}\\ \le \left( {{7^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} \right)\left( {{{\cos }^2}2t + {{\sin }^2}2t} \right)\\ = 85.1 = 85\\ \Rightarrow {N^2} \le 85 \Rightarrow  - \sqrt {85}  \le N \le \sqrt {85} \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 9 - \sqrt {85}  \le 9 + N \le 9 + \sqrt {85} \\ \Rightarrow \dfrac{{9 - \sqrt {85} }}{2} \le M \le \dfrac{{9 + \sqrt {85} }}{2}\end{array}$

Do đó GTNN của $M$ là $\dfrac{{9 - \sqrt {85} }}{2}$ và GTLN của $M$ là $\dfrac{{9 + \sqrt {85} }}{2}$.

Loigiaihay.com