Giải bài tập 5.23 trang 65 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Hình 5.25 là hình ảnh Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ. Xét hệ trục tọa độ Oxyz với O là bệ của chân cột trụ tại mặt nước, trục Oz trùng với cột trụ, mặt phẳng Oxy là mặt nước và xem như trục Oy cùng phương với cầu như Hình 5.25. Dây cáp AD (xem như là một đoạn thẳng) đi qua đỉnh D thuộc trục Oz và điểm A thuộc mặt phẳng Oyz, trong đó điểm D là đỉnh cột trụ cách mặt nước 227 m, điểm A cách mặt nước 75 m và cách trục Oz 343 m. Giả sử ta dựng một đoạn dây nối N trên dây cáp AD và điểm M trên thành cầu, biết M cách mặt nước 75 m và MN song song với cột trụ.

a) Tính độ dài MN, biết điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 230 m.

b) Người ta có thể dời đoạn dây dài 100 m để nối dây cáp AD với thành cầu tại vị trí điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 148 m không? Vì sao?

Lời giải chi tiết

a)

- Điểm A thuộc mặt phẳng Oyz, có tọa độ: \(A(0; - 343;75)\).

- Điểm D trên trục Oz, có tọa độ: \(D(0;0;227)\).

- Điểm M trên thành cầu, có tọa độ: \(M(0; - 230;75)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng AD là:

\(\overrightarrow {AD}  = D - A = (0 - 0;0 + 343;227 - 75) = (0;343;152)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AD:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 343 + 343t}\\{z = 75 + 152t}\end{array}} \right.\)

Trong đó, t là tham số.

Vì đoạn MN song song với trục Oz, nên tọa độ N sẽ có dạng \(N(0; - 230;{z_N})\). Để tìm \({z_N}\), ta thay \({y_N} =  - 230\) vào phương trình tham số của AD:

\( - 230 =  - 343 + 343t \Rightarrow t = \frac{{113}}{{343}}\)

Thay t vào phương trình tham số của z:

\({z_N} = 75 + 152 \times \frac{{113}}{{343}} \approx 125,1{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\)

Vậy tọa độ của N là \(N(0; - 230;125,1)\).

Độ dài đoạn MN là:

\(MN = |{z_N} - {z_M}| = |125,1 - 75| = 50,1{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\)

b)

Người ta muốn di chuyển dây cáp sao cho điểm M' cách trục Oz 148 m.

Xét điểm N' thuộc đường thẳng AD sao cho tọa độ \({y_{N'}} =  - 148\).

Sử dụng phương trình tham số của đường thẳng AD, ta giải phương trình:

\( - 148 =  - 343 + 343t \Rightarrow t = \frac{{195}}{{343}}\)

Thay giá trị của t vào phương trình của z, ta được:

\({z_{N'}} = 75 + 152 \times \frac{{195}}{{343}} \approx 161.4{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\)

Sau khi di chuyển đoạn dây MN có độ dài:

\(MN = |161.4 - 75| = 86.4{\mkern 1mu} ({\rm{m}})\)

Vì độ dài đoạn dây nhỏ hơn 100 m, nên ta có thể nối dây cáp AD với thành cầu tại vị trí điểm M cách trục Oz một khoảng bằng 148m.