Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem \(t = 0\) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số \(T(t)\). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi \(T'(t) =  - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\)(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút.

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t\) phút được cho bởi:

\(T'(t) =  - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\)

Để tìm hàm số \(T(t)\), ta sẽ tích phân hàm \(T'(t)\):

\(T(t) = \int {T'} (t){\mkern 1mu} dt = \int  -  \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}{\mkern 1mu} dt\)

Sử dụng phương pháp thay biến để tính tích phân. Đặt:

\(u =  - \frac{t}{{50}} \Rightarrow du =  - \frac{1}{{50}}{\mkern 1mu} dt \Rightarrow dt =  - 50{\mkern 1mu} du\)

Thay vào tích phân:

\(\int  -  \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}{\mkern 1mu} dt = \int  -  \frac{3}{2}{e^u} \cdot ( - 50){\mkern 1mu} du\)

\( = 75\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du\)

\( = 75{e^u} + C\)

\( = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\)

Vậy hàm số \(T(t)\) có dạng:

\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\)

Theo đề bài khi \(t = 0\) phút, nhiệt độ của nước là 95°C:

\(T(0) = 95\)

\(95 = 75{e^0} + C\)

\(95 = 75 + C\)

\(C = 20\)

Vậy hàm số \(T(t)\) là:

\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + 20\)

Thay \(t = 30\) vào hàm số \(T(t)\):

\(T(30) = 75{e^{ - \frac{{30}}{{50}}}} + 20 = 75{e^{ - \frac{3}{5}}} + 20 \approx 61,16\)

Vậy nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t = 30\) phút là khoảng \(61,16^\circ C\).