Giải bài tập 3 trang 93 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Bảng 24 thống kê độ ẩm không khí tủng bình các tháng năm 2021 tại Đà Lạt và Vũng Tàu (đơn vị: %)

a) Hãy lần lượt ghép các số liệu của Đà Lạt, Vũng Tàu thành năm nhóm sau:

[75;78,3), [78,3;81,6), [81,6;84,9), [84,9;88,2),[88,2;91,5)

b) Tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm của Đà Lạt và Vũng Tàu

c) Trong hai thành phố Đà Lạt và Vũng Tàu, thành phố nào có độ ẩm không khí trung bình tháng đồng đều hơn?

Lời giải chi tiết

a)

b) – Xét số liệu ở Đà Lạt:

+ Khoảng biến thiên: R = 91,5 – 75 = 16,5

+ Số phần tử của mẫu là n = 12

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là \(c{f_1} = 0\), \(c{f_2} = 2\), \(c{f_3} = 3\), \(c{f_4} = 9\), \(c{f_5} = 12\)

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 3. Xét nhóm 3 là nhóm [81,6;84,9) có s = 81,6, h = 3,3, \({n_3} = 1\) và nhóm 2 là nhóm [78,3;81.6) có \(c{f_2} = 2\)

Ta có tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right).h = 81,6 + \left( {\frac{{3 - 2}}{1}} \right).3,3 = 84,9\)

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\) suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 9. Xét nhóm 4 là nhóm [84,9;88,2) có t = 84,9, l = 3,3, \({n_4} = 6\) và nhóm 3 là nhóm [81,6;84,9) có \(c{f_3} = 3\)

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right).l = 84,9 + \left( {\frac{{9 - 3}}{6}} \right).3,3 = 88,2\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 88,2 - 84,9 = 3,3\)

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\overline {{x_1}}  = \frac{{0.76,65 + 2.79,95 + 83,25 + 6.86,55 + 3.89,85}}{{12}} = 86\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({s_1}^2 = \frac{{0{{(76,65 - 86)}^2} + 2{{(79,95 - 86)}^2} + {{(83,25 - 86)}^2} + 6{{(86,55 - 86)}^2} + 3{{(89,95 - 86)}^2}}}{{12}} = 10,7825\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_1} = \sqrt {{s_1}^2}  = \sqrt {10,7825}  \approx 3,28\)

– Xét số liệu ở Vũng Tàu:

+ Khoảng biến thiên: R = 91,5 - 75 = 16,5

+ Số phần tử của mẫu là n = 12

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là \(c{f_1} = 5\), \(c{f_2} = 11\), \(c{f_3} = 12\), \(c{f_4} = 12\), \(c{f_5} = 12\)

Ta có: \(\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3\) suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 3. Xét nhóm 1 là nhóm [75;78,3) có s = 75, h = 3,3, \({n_1} = 5\)

Ta có tứ phân vị thứ nhất là: \({Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_0}}}{{{n_1}}}} \right).h = 75 + \left( {\frac{{3 - 0}}{5}} \right).3,3 = 76,98\)

Ta có: \(\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9\) suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 9. Xét nhóm 2 là nhóm [78,3;81,6) có t = 78,3, l = 3,3, \({n_2} = 6\) và nhóm 1 là nhóm [75;78,3) có \(c{f_1} = 5\)

Ta có tứ phân vị thứ ba là: \({Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).l = 75 + \left( {\frac{{9 - 5}}{6}} \right).3,3 = 77,2\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: \({Q_3} - {Q_1} = 77,2 - 76,98 = 0,22\)

+ Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là: \(\overline {{x_2}}  = \frac{{5.76,65 + 6.79,95 + 83,25}}{{12}} = 78,85\)

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

\({s_2}^2 = \frac{{5{{(76,65 - 78,85)}^2} + 6{{(79,95 - 78,85)}^2} + {{(83,25 - 78,85)}^2}}}{{12}} = 4,235\)

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({s_2} = \sqrt {{s_2}^2}  = \sqrt {4,235}  \approx 2,06\)

c) Vũng Tàu có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn