Giải bài tập 15 trang 83 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

 

Một chiếc máy được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt E(0;0;6) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là \({A_1}(0;1;0)\), \({A_2}(\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0)\), \({A_3}( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2};0)\) (Hình 40). Biết rằng trọng lượng của chiếc máy là 300N. Tìm tọa độ của các lực tác dụng lên giá đỡ \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {E{A_1}}  = (0;1; - 6);\overrightarrow {E{A_2}}  = (\frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 6);\overrightarrow {E{A_3}}  = ( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}; - \frac{1}{2}; - 6) \Rightarrow E{A_1} = E{A_2} = E{A_3} = \sqrt {37} \)

\(\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|\) vì máy cân bằng và trọng lực của máy tác dụng đều lên 3 chân của giá đỡ.

Do đó:

\(\overrightarrow {{F_1}}  = k\overrightarrow {E{A_1}}  = (0;k; - 6k)\)

\(\overrightarrow {{F_2}}  = k\overrightarrow {E{A_2}}  = (\frac{{\sqrt 3 }}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k)\)

\(\overrightarrow {{F_3}}  = k\overrightarrow {E{A_3}}  = ( - \frac{{\sqrt 3 }}{2}k; - \frac{1}{2}k; - 6k)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = (0;0; - 18k)\)

Mà \(\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}}  + \overrightarrow {{F_3}}  = \overrightarrow P  = (0;0; - 300) \Rightarrow  - 18k = -300 \Leftrightarrow k = \frac{{50}}{3}\)

Vậy \(\overrightarrow {{F_1}}  = (0;\frac{{50}}{3}; - 100)\); \(\overrightarrow {{F_2}}  = (\frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{50}}{6}; - 100)\);\(\overrightarrow {{F_3}}  = ( - \frac{{25\sqrt 3 }}{3}; - \frac{{50}}{6}; - 100)\).