Giải bài tập 1.20 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} + 3{x^2} - 4\)

b) \(y = {x^3} + 4{x^2} + 4x\)

c) \(y =  - 2{x^3} + 2\)

d) \(y =  - {x^3} - {x^2} - x + 1\)

Lời giải chi tiết

a)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - 4} \right) =  - \infty \)

_{Ta có:} \({y^\prime } = 3{x^2} + 6x\)

\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow 3{x^2} + 6x = 0 \leftrightarrow x =  - 2{\rm{ hoac }}x = 0\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞,-2) và (0,∞), nghịch biến trên khoảng (-2,0).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0,{y_{CT}} =  - 4\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 2,{y_{CD}} = 0\)

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,-4).

Giao điểm với trục Ox là (-2,0), (1,0).

b)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right) = \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {{x^3} + 4{x^2} + 4x} \right) =  - \infty \)

Ta có: \({y^\prime } = 3{x^2} + 8x + 4\)

\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow 3{x^2} + 8x + 4 = 0 \leftrightarrow x =  - 2{\rm{  }}\)hoặc \(x = \frac{{ - 2}}{3}\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(( - \infty , - 2)\) và \(\left( {\frac{{ - 2}}{3},\infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2,\frac{{ - 2}}{3}} \right)\).

Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{ - 2}}{3},{y_{CT}} =  - \frac{{32}}{{27}}\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - 2,{y_{CD}} = 0\)

- Vẽ đồ thị:

Đi qua gốc tọa độ O(0,0).

Giao điểm với trục Ox là (-2,0).

c)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 2{x^3} + 2} \right) =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 2{x^3} + 2} \right) = \infty \)

Ta có: \({y^\prime } =  - 6{x^2} \le 0\forall x \in R\)

 \({y^\prime } = 0 \leftrightarrow  - 6x = 0 \leftrightarrow x = 0{\rm{  }}\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R.

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị:

Giao điểm với trục Oy là (0,2).

Giao điểm với trục Ox là (1,0).

d) \(\)

- Tập xác định: D = R.

- Sự biến thiên:

Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {x^3} - {x^2} - x + 1} \right) =  - \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y{\rm{ }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - {x^3} - {x^2} - x + 1} \right) = \infty \)

Ta có: \({y^\prime } =  - 3{x^2} - 2x - 1 < 0\forall x \in R\)

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên R.

Cực trị: Hàm số không có cực trị

- Vẽ đồ thị

Giao với trục Oy tại điểm (0,1)

Giao với trục Ox tại điểm (0.5437,0)