Giải bài tập 1.11 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Một thùng chứa nhiên liệu gồm một phần ở giữa là một hình trụ có chiều dài h mét (h > 0) và 2 đầu là các nửa hình cầu bán kính r (r > 0) (Hình 1.11). Biết rằng thể tích của thùng chứa là 144 000 \({m^3}\). Để sơn mắt ngoài phần hình cầu cần 20 000 cho 1 \({m^2}\), còn sơn phần ngoài phần hình trụ cần 10 000 đồng cho 1 \({m^2}\). Xác định r để chi phí cho việc sơn diện tích mắt ngoài thùng chứa (bao gồm diện tích xung quanh hình trụ và diện tích 2 nửa hình cầu) là nhỏ nhất, biết rằng bán kính r không được vượt quá 50m.

Lời giải chi tiết

Ta có thể tích thùng nhiên liệu là:

\(V = \frac{4}{3}{r^3}\pi  + {r^2}\pi h \Leftrightarrow 144000\pi  = \frac{4}{3}{r^3}\pi  + {r^2}\pi h \Leftrightarrow h = \frac{{144000 - \frac{4}{3}{r^3}}}{{{r^2}}}\).

DIện tích xung quanh thùng nhiên liệu là là: \(S = 4{r^2}\pi  + 2rh\pi \).

Số tiền cần để sơn xung quanh thùng nhiên liệu là:

\(T = 20000.4{r^2}\pi  + 10000.2rh\pi  = 80000{r^2}\pi  + 20000rh\pi \left( {\frac{{144000 - \frac{4}{3}{r^3}}}{{{r^2}}}} \right)\)

\( = 80000{r^2}\pi  + 2880000000\frac{\pi }{r} - \frac{{80000}}{3}{r^2}\pi  = \frac{{160000}}{3}{r^2}\pi  + 2880000000\frac{\pi }{r}\).

Bài toán trở thành tìm r để để hàm số T nhỏ nhất.

Ta có:

\(T' = \frac{{160000}}{3}\left( {2r} \right)\pi  - 2880000000\frac{\pi }{{{r^2}}} = 0 \Leftrightarrow {r^3} = 27000 \Leftrightarrow r = 30\).

Vậy để chi phí sơn là nhỏ nhất thì r = 30.