Giải bài 9.29 trang 57 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC của tam giác ABC sao cho \(\widehat {ABN} = \widehat {ACM}.\) Gọi O là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng:

a) \(AM.AB = AN.AC\)

b) \(OM.OC = ON.OB\)

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ABN và tam giác ACM có:

\(\widehat A\;chung,\widehat {ABN} = \widehat {ACM}\left( {gt} \right)\)

Do đó, $\Delta ABN\backsim \Delta ACM\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AM}}\) nên \(AM.AB = AN.AC\)

b) Tam giác BOM và tam giác CON có:

\(\widehat {MBO} = \widehat {NCO}\)(gt), \(\widehat {MOB} = \widehat {NOC}\) (hai góc đối đỉnh)

Nên $\Delta BOM\backsim \Delta CON\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{OM}}{{ON}} = \frac{{OB}}{{OC}}\) nên \(OM.OC = ON.OB\)