Giải bài 9.28 trang 56 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 2

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn và tìm bán kính, chu vi của đường tròn đó.

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 9 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - KHTN - Lịch sử và Địa lí

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn và tìm bán kính, chu vi của đường tròn đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Chứng minh tam giác MQA vuông cân tại A, áp dụng định lí Pythagore để tính QM.

+ Tương tự, ta tính được MN, NP, PQ, suy ra MNPQ là hình thoi.

+ \(\widehat {MNP} = {90^o}\), từ đó suy ra MNPQ là hình vuông.

+ Suy ra, tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn đường kính MP, bán kính \(\frac{{MP}}{2}\).

+ Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MPQ vuông tại Q tính được MP.

+ Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ là: \(C = 2\pi .\frac{{MP}}{2}\).

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình vuông nên \(AB = AD\). Mà M, Q lần lượt là trung điểm của AB và AD nên \(AM = AQ\).

Do đó, tam giác QAM vuông cân tại A.

Suy ra, \(Q{M^2} = A{M^2} + Q{A^2} = 8\) (định lí Pythagore), suy ra\(QM = 2\sqrt 2 cm\).

Tương tự ta có: \(MN = NP = PQ = QM = 2\sqrt 2 cm\). Do đó, MNPQ là hình thoi.

Ta có:

\(\widehat {MNP} = {180^o} - \widehat {MNB} - \widehat {PNC} = {180^o} - {45^o} - {45^o} = {90^o}.\)

Do đó, hình thoi MNPQ là hình vuông.

Suy ra, tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn đường kính MP.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác MPQ vuông tại Q có:

\(M{P^2} = M{Q^2} + Q{P^2} = 16\).

Suy ra: \(MP = 4cm\).

Do đó, bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ là: \(\frac{{MP}}{2} = 2cm\).

Chu vi đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNPQ là: \(C = 2\pi .2 = 4\pi \left( {cm} \right)\).

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

close