Giải bài 9 trang 91 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b\;khi\;\left| x \right| < 2\\x\left( {2 - x} \right)\;\;\;\;\,khi\;\left| x \right| \ge 2\end{array} \right.\). Tìm giá trị của các tham số a và b sao cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right] \) \( = 2\left( {2 - 2} \right) \) \( = 0 \) \( = f\left( 2 \right)\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) \) \( = {2^2} + 2a + b \) \( = 2a + b + 4\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right] \) \( = \left( { - 2} \right)\left( {2 + 2} \right) \) \( = - 8 \) \( = f\left( { - 2} \right)\)

Hàm số \(y \) \( = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) khi hàm số \(y \) \( = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x \) \( = 2\) và \(x \) \( = - 2\).

Do đó, \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + 2a + b = 0\\4 - 2a + b = - 8\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 4\\ - 2a + b = - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\end{array} \right.\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right] = 2\left( {2 - 2} \right) = 0 = f\left( 2 \right)\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = {2^2} + 2a + b = 2a + b + 4\)