Bài 9 trang 160 Vở bài tập toán 9 tập 2

Giải bài 9 trang 160 VBT toán 9 tập 2. Tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn lần lượt cắt tia AC và tia AB ở D và E. Chứng minh...

Quảng cáo

Đề bài

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp đường tròn \((O)\). Tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của đường tròn lần lượt cắt tia \(AC\) và tia \(AB\) ở \(D\) và \(E\). Chứng minh:

a) \(B{D^2} = AC.CD.\)

b) Tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

c) \(BC\) song song với \(DE\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng: Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau

Chứng minh \(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD\) đồng dạng the trường hợp góc-góc để suy ra hệ thức về cạnh.

b) Sử dụng: Góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu hai cung bị chắn để chỉ ra các góc bằng nhau.

 Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa 2 đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp.

c) Chứng minh hai góc đồng vị bằng nhau dựa vào tính chất tam giác cân và tứ giác nội tiếp để có \(BC//DE.\)

Lời giải chi tiết

 

a) Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung \(BC\) và \(\widehat {CBD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \(BC\)  nên  \(\widehat {BAC} = \widehat {CBD}\) .

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta BCD\) có \(\widehat {BDC}\) chung và \(\widehat {BAC} = \widehat {CBD}\,\left( {cmt} \right)\)  nên \(\Delta ABD \backsim \Delta BCD\left( {g - g} \right)\)

Suy ra \(\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{BD}}{{CD}} \Leftrightarrow B{D^2} = AD.CD\) (đpcm)  

b) Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {D_1};\,\widehat {E_1}\) là các góc có đỉnh bên ngoài đường tròn nên

\(\widehat {D_1} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{AC}-\) sđ\(\overparen{BC}\))  (1)

\(\widehat {E_1} = \dfrac{1}{2}\) (sđ\(\overparen{AB}-\) sđ\(\overparen{BC}\))   (2)

Ta lại có  \(\overparen{AC}=\overparen{AB}\) (vì \(AB=AC\)) nên từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {D_1} =\widehat {E_1}\)

Hai điểm \(D,E\) cùng nhìn cạnh \(BC\) dưới một cặp góc bằng nhau và cùng nằm về một phía của BC nên tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp.

c)  Vì tứ giác \(BCDE\) là tứ giác nội tiếp (cmt) nên \(\widehat {BED} + \widehat {BCD} = 180^\circ \) (tính chất) mà \(\widehat {BCD} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (kề bù) nên \(\widehat {BED} = \widehat {ACB}\) (cùng bù với \(\widehat {BCD}\)) 

Mặt khác \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A\)) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {BED}\) mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(BC//ED\) (đpcm) 

Loigiaihay.com

  • Bài 10 trang 161 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 10 trang 161 VBT toán 9 tập 2. Một mặt phẳng chứa trục OO’ của một hình trụ, phần mặt phẳng nằm trong hình trụ là một hình chữ nhật có chiều dài 3cm, chiều rộng 2cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình trụ đó...

  • Bài 11 trang 161 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 11 trang 161 VBT toán 9 tập 2. Khi quay tam giác ABC vuông tại A một vòng quanh cạnh góc vuông AC cố định, ta được một hình nón. Biết rằng BC = 4dm, góc ACB = 30 độ. Tính diện tích xung quanh và thể tích hình nón...

  • Bài 12 trang 162 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 12 trang 162 VBT toán 9 tập 2. Một hình cầu có số đo diện tích (đơn vị: mét vuông) bằng số đo thể tích (đơn vị: mét vuông). Tính bán kính hình cầu, diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu...

  • Bài 8 trang 159 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 8 trang 159 VBT toán 9 tập 2. Cho đường tròn (O), cung BC có số đo bằng 120 độ, điểm A di chuyển trên cung lớn BC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD=AC. Hỏi điểm D di chuyển trên đường nào ...

  • Bài 7 trang 159 Vở bài tập toán 9 tập 2

    Giải bài 7 trang 159 VBT toán 9 tập 2. Một hình vuông và một hình tròn có chu vi bằng nhau. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn?...

Quảng cáo
list
close
Gửi bài