Giải bài 7.11 trang 28 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác \(ABC\) nhọn. Gọi \(H,K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\). Chứng minh rằng:

a) \(BC \bot \left( {SAH} \right)\) và các đường thẳng \(AH,BC,SK\) đồng quy;

b) \(SB \bot \left( {CHK} \right)\) và \(HK \bot \left( {SBC} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Chỉ ra  \(BC \bot SA,BC \bot AH\) nên \(BC \bot \left( {SAH} \right)\).

Gọi \(M\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\)\(CH \bot AB\)

Ta có: \(BC \bot \left( {SAM} \right)\), suy ra \(BC \bot SM\), mà \(K\) là trực tâm của tam giác \(SBC\) nên \(SM\) đi qua \(K\).

 Do đó, \(SK,AH,BC\) đồng quy tại \(M\).

b)

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot CH\), mà , suy ra \(CH \bot \left( {SAB} \right)\).

 Do đó \(CH \bot SB\), lại có \(SB \bot CK\) nên \(SB \bot \left( {CHK} \right)\).

 

Từ đó ta có \(SB \bot HK\), tương tự, ta chứng minh được \(SC \bot \left( {BHK} \right)\), suy ra \(SC \bot HK\). Do đó \(HK \bot \left( {SBC} \right)\).