Giải bài 6.41 trang 15 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

a) Rút gọn biểu thức \(P = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

b) Tìm giá trị lớn nhất của P. 

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện xác định: \(x \ne 0;x \ne  - 2\)

\(P = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\left( {\frac{{x + 2}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{x + 2 - {x^2}}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x}.\frac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x} = \frac{{ - \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) - {x^2} - 6x - 4}}{x}\)

\( = \frac{{ - {x^3} - {x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 6x - 4}}{x} = \frac{{ - {x^3} - 2{x^2} - 2x}}{x}\)\( = \frac{{ - x\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)}}{x} =  - {x^2} - 2x - 2\)

b) Ta có: \(P =  - {x^2} - 2x - 2 =  - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 1 =  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1 \le  - 1.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x + 1 = 0\) hay \(x =  - 1\)

Vậy giá trị lớn nhất của P là -1 tại \(x =  - 1\)