Giải bài 6.40 trang 15 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho phân thức \(P = \frac{{4{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}}\left( {x \ne  - \frac{1}{2}} \right)\)

a) Tìm thương và dư của phép chia đa thức \(4{x^2} + 2x + 3\) cho đa thức \(2x + 1\)

b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy viết P dưới dạng tổng của một đa thức và một phân thức với tử thức là một hằng số. Dùng kết quả đó để tìm tất cả các giá trị nguyên của x để phân thức đã cho có giá trị cũng là số nguyên. 

Lời giải chi tiết

a) Chia đa thức \(4{x^2} + 2x + 3\) cho đa thức \(2x + 1\) được thương là 2x và dư là 3.

Do đó, \(4{x^2} + 2x + 3 = 2x\left( {2x + 1} \right) + 3\)

b) \(P = \frac{{4{x^2} + 2x + 3}}{{2x + 1}} = \frac{{2x\left( {2x + 1} \right) + 3}}{{2x + 1}} = 2x + \frac{3}{{2x + 1}}\)

Để x, P thuộc \(\mathbb{Z}\) thì \(\frac{3}{{2x + 1}} \in \mathbb{Z}.\)

Suy ra, \(2x + 1\) là một ước số nguyên của 3. Do đó, \(2x + 1 \in \left\{ {1; - 1;3; - 3} \right\}\)

Ta có bảng

 

Vậy \(x \in \left\{ {0; - 1; - 2;1} \right\}\) thì thỏa mãn yêu cầu bài toán