Giải bài 6.34 trang 24 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho biểu thức

a) Rút gọn \(P = \frac{{{x^2} - 6{\rm{x}} + 9}}{{9 - {x^x}}} + \frac{{4{\rm{x  +  8}}}}{{x + 3}}\)

b) Tính giá trị của P tại x = 7

c) Chứng tỏ \(P = 3 + \frac{2}{{x + 3}}\). Từ đó tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho biểu thức đã cho nhận giá trị nguyên 

Lời giải chi tiết

a) \(P=\frac{{{\left( x-3 \right)}^{2}}}{-\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}+\frac{4x+8}{x+3}=\frac{x-3}{-\left( x+3 \right)}+\frac{4x+8}{x+3}\)

\(=\frac{3-x+4\text{x}+8}{x+3}=\frac{3\text{x}+11}{x+3}\)

b) $P(7)=\frac{3.7+11}{7+3}=3,2$

c) \(P=\frac{3\text{x}+11}{x+3}=\frac{3(x+3)+2}{x+3}=3+\frac{2}{x+3}\), do đó \(\frac{2}{x+3}=P-3\).

Nếu $P\in \mathbb{Z}$ và $x\in \mathbb{Z}$ thì $\frac{2}{x+3}\in \mathbb{Z}$ và x + 3 là ước số nguyên của 2.

Do đó, $x+3\in \left\{ 1;2;-1;-2 \right\}$.

Ta lập được bảng sau:

Do đó các giá trị nguyên x cần tìm là $x\in \left\{ -2;-1;-4;-5 \right\}$ (các giá trị này của x đều tỏa mãn điều kiện xác định của P).