Giải bài 6 trang 107 sách bài tập toán 9 - Cánh diều tập 2

Đề bài

Cho ngũ giác đều ABCDE và một điểm M nằm trong ngũ giác. Gọi A’, B’, C’, D’, E’ lần lượt là các điểm nằm trên các đoạn thẳng MA, MB, MC, MD, ME sao cho

\(\frac{{MA'}}{{MA}} = \frac{{MB'}}{{MB}} = \frac{1}{3},\frac{{CC'}}{{MC}} = \frac{{DD'}}{{MD}} = \frac{2}{3},\frac{{ME'}}{{E'E}} = \frac{1}{2}\). Chứng minh ngũ giác A’B’C’D’E’ là ngũ giác đều.

Lời giải chi tiết

Từ \(\frac{{MA'}}{{MA}} = \frac{{MB'}}{{MB}} = \frac{1}{3},\frac{{CC'}}{{MC}} = \frac{{DD'}}{{MD}} = \frac{2}{3},\frac{{ME'}}{{E'E}} = \frac{1}{2}\) suy ra:

\(\frac{{MA'}}{{MA}} = \frac{{MB'}}{{MB}} = \frac{{MC'}}{{MC}} = \frac{{MD'}}{{MD}} = \frac{{ME'}}{{ME}} = \frac{1}{3}.\)     (1)

Do đó: A’B’ // AB, B’C’ // BC, C’D’ // CD, D’E’ // DE, E’A’ // EA (định lí Thalès đảo).

Do A’B’ // AB nên \(\widehat {MA'B'} = \widehat {MAB}\) (đồng vị);

Do E’A’ // EA nên \(\widehat {MA'E'} = \widehat {MAE}\)(đồng vị);

Suy ra \(\widehat {MA'B'} + \widehat {MA'E'} = \widehat {MAB} + \widehat {MAE}\) hay \(\widehat {B'A'E'} = \widehat {BAE}\).

Chứng minh tương tự, ta được các góc A’, B’, C’, D’, E’ của ngũ giác A’B’C’D’E’ tương ứng bằng các góc A, B, C, D, E của ngũ giác đều ABCDE.

Mà ABCDE là ngũ giác đều nên góc A, B, C, D, E của ngũ giác bằng nhau.

Do đó các góc của ngũ giác A’B’C’D’E’ bằng nhau. (2)

Mặt khác, từ (1) ta cũng chứng minh được:

\(A'B' = \frac{{AB}}{3};B'C' = \frac{{BC}}{3};C'D' = \frac{{CD}}{3};\)

\(D'E' = \frac{{DE}}{3};E'A' = \frac{{EA}}{3}\).

Mà ABCDE là ngũ giác đều nên AB = BC = CD = DE = EA.

Do đó: A’B’ = B’C’ = C’D’ = D’E’ = E’A’. (3)

Từ (2) và (3) suy ra ngũ giác A’B’C’D’E’ là ngũ giác đều.