Giải bài 5.48 trang 90 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\). Hãy tính:

Quảng cáo

Đề bài

Biết \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\). Hãy tính:

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{{x^3}}}\);

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin x}}{{{x^2}}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{{x^2}}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng lý thuyết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f(x) = L > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} g(x) = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f(x) = L > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}^ + } g(x) = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} f(x) = L > 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_{_o}^ - } g(x) = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_o}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = - \infty \)

Lời giải chi tiết

Đặt \(f(x) = \frac{{\sin x}}{x}\). Khi đó

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{{{x^3}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(x)}}{{{x^2}}} = + \infty .\)

b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x)}}{x} = + \infty \).

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sin x}}{{{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(x)}}{x} = - \infty .\)