Giải bài 5.4 trang 24 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {2; - 1;0} \right)\), \(B\left( {3;1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2y + 3z - 1 = 0\).

a) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\).

b) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa A, B và song song với trục \(Ox\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1;2;2} \right)\), vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2;3} \right)\).

Do \(\left( \beta  \right)\) chứa A, B và \(\left( \beta  \right) \bot \left( \alpha  \right)\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right]\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta  \right)\).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {2; - 1;0} \right)\).

Phương trình mặt phẳng của \(\left( \beta  \right)\) là \(2\left( {x - 2} \right) - 1\left( {y + 1} \right) + 0\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y - 5 = 0\).

b) Do \(\left( \beta  \right)\) chứa A, B và \(\left( \beta  \right)\parallel  Ox\) nên \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } \right]\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \beta  \right)\) (do \(\overrightarrow i  = \left( {1;0;0} \right)\) là một vectơ chỉ phương của \(Ox\)).

Ta có \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0;2; - 2} \right)\).

Phương trình mặt phẳng của \(\left( \beta  \right)\) là \(0\left( {x - 3} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y - z + 1 = 0\).