Giải bài 5.25 trang 86 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Chứng tỏ rằng các phương trình sau có nghiệm trong khoảng tương ứng:

a) \({x^2} = \sqrt {x + 1} \), trong khoảng \(\left( {1;2} \right)\)

b) \(\cos x = x,\) trong khoảng \(\left( {0;1} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {x + 1}  - {x^2}\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\).

Mà \(f\left( 1 \right) = 1 - \sqrt 2  < 0,f\left( 2 \right) = 4 - \sqrt 2  > 0.\)

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm \(c \in \left( {1;2} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\)

b) Hàm số \(f\left( x \right) = \cos x - x\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\).

Mà \(f\left( 0 \right) = 1 > 0,f\left( 1 \right) = \cos 1 - 1 < 0.\)

Do đó, theo tính chất của hàm số liên tục, tồn tại điểm \(c \in \left( {0;1} \right)\) sao cho \(f\left( c \right) = 0\)