Giải bài 5.19 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A). a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O); b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3cm và (widehat {MAB} = {60^o}).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 9 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - KHTN - Lịch sử và Địa lí

Quảng cáo

Đề bài

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O). Từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O), trong đó A là tiếp điểm. Đường thẳng qua A và vuông góc với MO cắt (O) tại B (khác A).

a) Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O);

b) Tính OM và diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O), biết bán kính của (O) bằng 3cm và \(\widehat {MAB} = {60^o}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) + Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.

+ Chứng minh \(\Delta AOH = \Delta BOH\left( {ch - cgv} \right)\) nên \(\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\).

+ Chứng minh \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {c - g - c} \right)\) nên \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^o}\) .

+ Suy ra \(MB \bot OB\) tại B. Do đó, MB là tiếp tuyến của (O)

b) + Chứng minh tam giác MAB cân tại M và \(\widehat {MAB} = {60^o}\) nên tam giác MAB đều, suy ra \(\widehat {AMB} = {60^o}\)

+ Ta có \(\widehat {AOB} + \widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO} = {360^o}\), từ đó tính được góc AOB và số đo cung nhỏ AB.

+ Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB (\({S_q}\)).

+ Tính được \(\widehat {AMO} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = {60^o}\).

+ Tam giác MOA vuông tại A nên \(AM = AO.\tan \widehat {AMO}\).

+ Chứng minh \({S_{\Delta AMO}} = {S_{\Delta BMO}} = \frac{1}{2}OA.AM\), từ đó tính diện tích tứ giác AOBM (\({S_{AOBM}}\)).

+ Diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là: \(S = {S_{AOBM}} - {S_q}\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là giao điểm của MO và AB. Do đó, MO vuông góc với AB tại H.

Tam giác AOH và tam giác BOH có:

OH chung, \(OA = OB\), \(\widehat {OHA} = \widehat {BHO} = {90^o}\)

nên \(\Delta AOH = \Delta BOH\left( {ch - cgv} \right)\)

nên \(\widehat {AOH} = \widehat {BOH}\) hay \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\).

Tam giác AOM và tam giác BOM có:

OM chung, \(OA = OB\), \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\)

nên \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {c - g - c} \right)\)

nên \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^o}\) .

Do đó, \(MB \bot OB\) tại B.

Do đó, MB là tiếp tuyến của (O).

b) Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên \(MA = MB\).

Do đó, tam giác MAB cân tại M.

Mà \(\widehat {MAB} = {60^o}\) nên tam giác MAB đều.

Do đó, \(\widehat {AMB} = {60^o}\).

Tứ giác AOBM có:

\(\widehat {AOB} + \widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO} = {360^o}\)

Suy ra:

\(\widehat {AOB} = {360^o} - \left( {\widehat {OBM} + \widehat {BMA} + \widehat {MAO}} \right) \\= {360^o} - \left( {{{90}^o} + {{90}^o} + {{60}^o}} \right) = {120^o}\)

Vì AOB là góc ở tâm chắn cung nhỏ AB nên sđ$\overset\frown{AB}$nhỏ \( = {120^o}\).

Do đó, diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:

\({S_q} = \frac{{120}}{{360}}.\pi {.3^2} = 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên OM là phân giác của góc AOB nên \(\widehat {AOM} = \frac{1}{2}\widehat {AOB} = {60^o}\).

Tam giác MOA vuông tại A nên

\(AM = AO.\tan \widehat {AOM} = 3.\tan {60^o} = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).

Vì \(\Delta AOM = \Delta BOM\left( {cmt} \right)\)

nên \({S_{\Delta AMO}} = {S_{\Delta BMO}} \) \(= \frac{1}{2}OA.AM = \frac{1}{2}.3.3\sqrt 3  \) \( = \frac{{9\sqrt 3 }}{2}\left( {c{m^2}} \right)\).

Do đó diện tích tứ giác AOBM là:

\({S_{AOBM}} = 2{S_{\Delta AMO}} = 9\sqrt 3 \left( {c{m^2}} \right)\).

Vậy diện tích phần của tam giác AMB nằm bên ngoài (O) là:

\(S = {S_{AOBM}} - {S_q} = 9\sqrt 3  - 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\).

  • Giải bài 5.20 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

    Cho AM và AN là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (O), trong đó M và N là hai tiếp điểm. Gọi E là một điểm thuộc cung nhỏ MN. Tiếp tuyến của (O) tại E cắt AM tại B và cắt AN tại C. Biết (AB = 10cm), (AC = 7cm) và (BC = 6cm). Tính độ dài của các đoạn thẳng AM, AN, BM và CN.

  • Giải bài 5.21 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

    Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH. a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH; b) Gọi M và N là các điểm đối xứng với H lần lượt qua AB và AC. Chứng minh rằng BM và CN là hai tiếp tuyến của (A); c) Chứng minh rằng MN là một đường kính của (A); d) Tính diện tích của tứ giác BMNC, biết (HB = 2cm) và (HC = 4,5cm).

  • Giải bài 5.18 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

    Cho đường thẳng a, điểm M thuộc a và số dương R. Vẽ đường thẳng b đi qua M và vuông góc với a. Trên b xác định điểm A sao cho (AM = R) (đvđd). Chứng minh rằng đường tròn (A; R) tiếp xúc với a tại M. Ta có thể vẽ được mấy đường tròn như thế?

  • Giải bài 5.17 trang 65 sách bài tập toán 9 - Kết nối tri thức tập 1

    Cho đường tròn (O) và điểm P. a) Giả sử (P in left( O right)). Vẽ đường thẳng a đi qua P và vuông góc với OP. Chứng minh rằng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P. b) Giả sử P nằm ngoài (O). Vẽ đường tròn đường kính OP. Đường tròn vừa vẽ cắt (O) tại A và B. Chứng minh rằng PA và PB là hai tiếp tuyến của (O).

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

close