Giải bài 4.69 trang 71 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho ba điểm \(A(2; - 1),\,\,B(5;3)\) và \(C( - 2;9).\)

a)      Tìm điểm \(D\) thuộc trục hoành sao cho \(B,\,\,C,\,\,D\) thẳng hàng.

b)     Tìm điểm \(E\) thuộc trục hoành sao cho \(EA + EB\) nhỏ nhất.

c)      Tìm điểm \(F\) thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FC} \) có độ dài ngắn nhất.

Lời giải chi tiết

a) Vì điểm \(D\) thuộc trục hoành nên tạo độ điểm \(D\) là: \(D(x;0)\)

Ta có: \(\overrightarrow {BD}  = (x - 5; - 3)\) và \(\overrightarrow {CD}  = (x + 2; - 9)\)

Để ba điểm \(B,\,\,C,\,\,D\) thẳng hàng

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{x - 5}}{{ - 3}} = \frac{{x + 2}}{{ - 9}}\) \( \Leftrightarrow \) \(3x - 15 = x + 2\) \( \Leftrightarrow \) \(x = \frac{{17}}{2}\)

Vậy \(D\left( {\frac{{17}}{2};0} \right)\)

b) Vì điểm \(E\) thuộc trục hoành nên tọa độ điểm \(E\) là: \(E(x;0)\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: \(EA + EB \ge AB\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(E\) là giao điểm của \(AB\) với trục \(Ox\)

Ta có: \(\overrightarrow {AE}  = (x - 2;1)\) và \(\overrightarrow {AB}  = (3;4)\)

Để \(E \in AB\) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{3}{4}\) \( \Leftrightarrow \) \(4x - 8 = 3\) \( \Leftrightarrow \) \(x = \frac{{11}}{4}\)

Vậy \(E\left( {\frac{{11}}{4};0} \right)\)

c) Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow \) \(G\left( {\frac{1}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\)

Vì điểm \(F\) thuộc trục tung nên tọa độ điểm \(F\) là: \(F(0;y)\)

Ta có: \(\overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FC}  = 3\overrightarrow {FG} \)

Để \(\overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {FB}  + \overrightarrow {FC} \) có độ dài ngắn nhất

\( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {FG} \) có độ dài ngắn nhất

\( \Leftrightarrow \) \(F\) là hình chiếu của \(G\) trên trục \(Oy\)

\( \Leftrightarrow \) \(F\left( {0;\frac{{11}}{3}} \right)\)