Giải bài 4.65 trang 70 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sốngCho hình thang vuông ABCD Quảng cáo
Đề bài Cho hình thang vuông \(ABCD\) có \(\widehat {DAB} = \widehat {ABC} = {90^ \circ },\,\,BC = 1,\,\,AB = 2\) và \(AD = 3.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB.\) a) Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {CM} ,\,\,\overrightarrow {CD} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} .\) b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(CD,\,\,G\) là trọng tâm tam giác \(MCD\) và \(I\) là điểm thuộc cạnh \(CD\) sao cho \(9IC = 5ID.\) Chứng minh rằng \(A,\,\,G,\,\,I\) thẳng hàng. c) Tính độ dài các đoạn thẳng \(AI\) và \(BI.\) Lời giải chi tiết a) Ta có: \(BC = 1\) và \(AD = 3\) mặt khác \(BC\)//\(AD\) vì \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {BC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \) Ta có: \(\overrightarrow {CM} = \overrightarrow {BM} - \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \) Ta có: \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} \) \(\begin{array}{l} = - \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \\ = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \\ = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} \end{array}\) b) Ta có: \(G\) là trọng tâm của \(\Delta MCD\) \( \Rightarrow \) \(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {AD} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} \) \( \Rightarrow \) \(6.3\overrightarrow {AG} = 18\overrightarrow {AG} = 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} \) (1) Ta có: \(9IC = 5ID\) \( \Rightarrow \) \(9\overrightarrow {IC} + 5\overrightarrow {ID} = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \) \(9\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AI} } \right) + 5\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AI} } \right) = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \) \(14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AC} + 5\overrightarrow {AD} \) \( \Leftrightarrow \) \(14\overrightarrow {AI} = 9\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + 5\overrightarrow {AD} = 9\overrightarrow {AB} + 9.\frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + 5\overrightarrow {AD} \) \( \Leftrightarrow \) \(14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} \) (2) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(18\overrightarrow {AG} = 14\overrightarrow {AI} \) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {AG} \) và \(\overrightarrow {AI} \) cùng hướng \( \Rightarrow \) ba điểm \(A,\,\,G,\,\,I\) thẳng hàng. c) Ta có: \(14\overrightarrow {AI} = 9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} \) (cmt) \( \Rightarrow {\left( {14\overrightarrow {AI} } \right)^2} = {\left( {9\overrightarrow {AB} + 8\overrightarrow {AD} } \right)^2} = 81{\overrightarrow {AB} ^2} + 144\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + 64{\overrightarrow {AD} ^2}\) \( \Rightarrow 194A{I^2} = 81A{B^2} + 64A{D^2} = 81.4 + 64.9 = 900\) \( \Rightarrow A{I^2} = \frac{{900}}{{196}}\) \( \Rightarrow AI = \frac{{30}}{{14}} = \frac{{15}}{7}\) Ta có: \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AI} - \overrightarrow {AB} = \frac{9}{{14}}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{7}\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{4}{7}\overrightarrow {AD} - \frac{5}{{14}}\overrightarrow {AB} \) \( \Rightarrow \) \(B{I^2} = {\left( {\frac{4}{7}\overrightarrow {AD} - \frac{5}{{14}}\overrightarrow {AB} } \right)^2} = \frac{{16}}{{49}}{\overrightarrow {AD} ^2} - \frac{{20}}{{49}}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} + \frac{{25}}{{196}}{\overrightarrow {AB} ^2}\) \( \Rightarrow \) \(B{I^2} = \frac{{16}}{{49}}{\overrightarrow {AD} ^2} + \frac{{25}}{{196}}{\overrightarrow {AB} ^2} = \frac{{16}}{{49}}.9 + \frac{{25}}{{196}}.4 = \frac{{169}}{{49}}\) \( \Rightarrow \) \(BI = \frac{{13}}{7}\)
Quảng cáo
|