Giải bài 4.66 trang 71 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sốngCho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng Quảng cáo
Đề bài Cho bốn điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) trong mặt phẳng. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = 0.\) Lời giải chi tiết Ta có: \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \) \(\overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} \) \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \) Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right)\) \( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} + {\overrightarrow {BC} ^2} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {BC} ^2} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} \) \( = \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CD} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \right) + \left( {{{\overrightarrow {BC} }^2} - {{\overrightarrow {BC} }^2}} \right) + \left( {\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} } \right) = 0\) \( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BD} = 0\) (đpcm)
Quảng cáo
|