Giải bài 4.47 trang 70 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABH vuông tại đỉnh H có \(\widehat {ABH} = {60^0}\). Trên tia đối của tia HB lấy điểm C sao cho HB = HC (H.4.52). Chứng minh rằng \(\Delta ABC\) là tam giác đều và \(BH = \dfrac{{AB}}{2}\)

Lời giải chi tiết

Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta HAC\) có:

\(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\\HB = HC\\HA:Chung\\ \Rightarrow \Delta HAB = \Delta HAC\left( {c - g - c} \right)\)

\(\Rightarrow AB = AC\) (2 cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow \Delta ABC\) cân tại A 

\(\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}\)

Mặt khác, theo định lí tổng 3 góc trong một tam giác, ta có: \(\widehat A = {180^0} - \widehat B - \widehat C = {180^0} - 2\widehat B = 180^0-2.60^0={60^0}\)

Ta được:\(\widehat{A}=\widehat{B} (=60^0)\)

\(\Rightarrow \Delta ABC\) cân tại đỉnh C nên CA = CB

\( \Rightarrow AB = BC = CA\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều

\( \Rightarrow BH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{AB}}{2}\)