Bài 4.28 trang 206 SBT giải tích 12

Đề bài

Biết ${z_1}$ và ${z_2}$ là hai nghiệm của phương trình $2{x^2} + \sqrt 3 x + 3 = 0$. Hãy tính:

a) $z_1^2 + z_2^2$                   b) $z_1^3 + z_2^3$

c) $z_1^4 + z_2^4$                   d) $\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}}$

Lời giải chi tiết

Ta có: ${z_1} + {z_2} =  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2},{z_1}.{z_2} = \dfrac{3}{2}$. Từ đó suy ra:

a) $z_1^2 + z_2^2 = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2}$$= \dfrac{3}{4} - 3 =  - \dfrac{9}{4}$

b) $z_1^3 + z_2^3$$= \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {z_1^2 - {z_1}{z_2} + z_2^2} \right)$ $=  - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( { - \dfrac{9}{4} - \dfrac{3}{2}} \right) = \dfrac{{15\sqrt 3 }}{8}$

c) $z_1^4 + z_2^4 = {\left( {z_1^2 + z_2^2} \right)^2} - 2z_1^2.z_2^2$$= {\left( { - \dfrac{9}{4}} \right)^2} - 2.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} = \dfrac{9}{{16}}$

d) $\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \dfrac{{{z_2}}}{{{z_1}}} = \dfrac{{z_1^2 + z_2^2}}{{{z_1}.{z_2}}}$$= \dfrac{{ - \dfrac{9}{4}}}{{\dfrac{3}{2}}} =  - \dfrac{3}{2}$

Loigiaihay.com