Giải bài 4.21 trang 17 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính diện tích của các hình phẳng được tô màu dưới đây:

Lời giải chi tiết

a) Hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),x = 0\) và \(x = 5\).

Diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_0^5 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  + \int\limits_2^5 {\left| {{x^2} - 4} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 4} \right)dx}  + \int\limits_2^5 {\left( {{x^2} - 4} \right)dx} \)

\( = \left. {\left( {\frac{{ - {x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - 4x} \right)} \right|_2^5 = \frac{{ - 8}}{3} + 8 + \frac{{125}}{3} - 20 - \frac{8}{3} + 8 = \frac{{97}}{3}\).

b) Hình phẳng cần tìm được giới hạn bởi các đường \(y =  - {x^2} + 9,{\rm{ }}y = 2x + 1,{\rm{ }}x = 0\) và \(x = 2\).

Diện tích cần tìm là

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 9} \right) - \left( {2x + 1} \right)} \right|dx}  = \int\limits_0^2 {\left[ {\left( { - {x^2} + 9} \right) - \left( {2x + 1} \right)} \right]dx}  = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} + 9 - 2x - 1} \right)dx} \)

\( = \int\limits_0^2 {\left( { - {x^2} - 2x + 8} \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 8x} \right)} \right|_0^2 =  - \frac{8}{3} - 4 + 16 = \frac{{28}}{3}\).