Giải bài 40 trang 55 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({u_1} + {u_5} = 51\) và \({u_2} + {u_6} = 102\)

a)    Tính \({u_{10}}\).

b)    Số 192 là số hạng thứ mấy của cấp số nhân trên?

c)     Số 9216 có là số hạng nào của cấp số nhân trên không?

Lời giải chi tiết

a) Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\\51q = 102\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\\q = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {2^4}} \right) = 51\\q = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\q = 2\end{array} \right.\)

Vậy \({u_1} = 3\), \(q = 2\). Suy ra \({u_{10}} = {u_1}{q^9} = {3.2^9} = 1536\).

b) Gọi \(k\) là vị trí của số 192 trong cấp số nhân trên. Ta có \({u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\).

Ta cần tìm \(k\) để \(192 = {u_1}.{q^{k - 1}}\).

Do \(192 = {3.2^{k - 1}} \Rightarrow {2^{k - 1}} = 64 \Rightarrow k - 1 = 6 \Rightarrow k = 7\).

Vậy 192 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân trên.

c) Giả sử 9216 là số thứ \(n\) của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\). Suy ra \(9216 = {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}\).

\( \Rightarrow {3.2^{n - 1}} = 9216 \Rightarrow {2^{n - 1}} = 3072\).

Vì 3072 chia hết cho 3, và với \(n\) nguyên dương thì \({2^{n - 1}}\) không chia hết cho 3.

Suy ra không tồn tại \(n\) thoả mãn.

Vậy 9216 không là số hạng của cấp số nhân trên.