Giải Bài 36 trang 78 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90°. Lấy hai điểm M, N nằm ngoài tam giác ABC sao cho MA vuông góc với AB, NA vuông góc với AC và MA = AB, NA = AC. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BN với AC, MC (Hình 24).

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC có góc A nhỏ hơn 90°. Lấy hai điểm M, N nằm ngoài tam giác ABC sao cho MA vuông góc với AB, NA vuông góc với AC và MA = AB, NA = AC. Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BN với AC, MC (Hình 24).

 

Chứng minh:

a) ∆AMC = ∆ABN;

b) BN vuông góc với CM.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xét các điều kiện về cạnh và góc để chứng minh  ∆AMC = ∆ABN

- Từ hai tam giác bằng nhau suy ra các góc tương ứng bằng nhau để chứng minh cho BN vuông góc với CM.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = 90^\circ  + \widehat {BAC}\)

\(\widehat {MAC} = \widehat {MAB} + \widehat {BAC} = 90^\circ  + \widehat {BAC}\)

Suy ra: \(\widehat {MAC} = \widehat {NAB}\)

Xét ∆AMC và ∆ABN có:

MA = AB (giả thiết),

\(\widehat {MAC} = \widehat {NAB}\) (chứng minh trên),

AC = AN (giả thiết)

Suy ra ∆AMC = ∆ABN (c.g.c).

Vậy ∆AMC = ∆ABN.

b) Do ∆AMC = ∆ABN (chứng minh câu a)

Suy ra \(\widehat {ACM} = \widehat {ANB}\) (hai góc tương ứng).

Mặt khác, \(\widehat {KIC} + \widehat {AIN}\) (đối đỉnh).

Suy ra \(\widehat {ACM} + \widehat {KIC} = \widehat {ANB} + \widehat {AIN}\)

Xét ∆AIN vuông tại A có: \(\widehat {ANI} + \widehat {AIN} = 90^\circ \) (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng 90°)

Hay \(\widehat {ANB} + \widehat {AIN} = {90^o}\)

Do đó \(\widehat {ACM} + \widehat {KIC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ICK} + \widehat {KIC} = 90^\circ \)

 Xét ∆KIC, có: \(\widehat {ICK} + \widehat {KIC} + \widehat {IKC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra \(\widehat {IKC} = 180^\circ  - \left( {\widehat {ICK} + \widehat {KIC}} \right) = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ \)

Do đó BN vuông góc với  MC.

Vậy BN vuông góc với  MC.

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close