Bài 3.16 trang 104 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm  A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải chi tiết

Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$.

Vì  $A \in (S)$ nên ta có:  1 – 2a + d =0 (1)

$B \in (S)$ nên ta có: 4 + 4b + d = 0 (2)

$C \in (S)$ nên ta có: 16 – 8c + d = 0 (3)

$D \in (S)$ nên ta có:  d = 0 (4)

Giải hệ 4 phương trình trên ta có: $d = 0,a = \dfrac{1}{2},b =  - 1,c = 2$.

Vậy mặt cầu (S) cần tìm có phương trình là: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - x + 2y - 4z = 0$

Phương trình mặt cầu (S) có thể viết dưới dạng:

${\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} - \dfrac{1}{4} - 1 - 4 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = \dfrac{{21}}{4}$

Vậy mặt cầu (S) có tâm $I\left( {\dfrac{1}{2}; - 1;2} \right)$ và có bán kính $r = \dfrac{{\sqrt {21} }}{2}$

Loigiaihay.com