Bài 2.95 trang 136 SBT giải tích 12

Đề bài

Tìm $\displaystyle  x$ biết $\displaystyle  {2^x} + {3^x} = {5^x}$.

A. $\displaystyle  x = 0$                         B. $\displaystyle  x = 1$

C. $\displaystyle  x =  - 1$                      D. $\displaystyle  x = 2$

Lời giải chi tiết

Chia cả hai vế cho $\displaystyle  {5^x} > 0$ ta được $\displaystyle  {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x} = 1$

Xét hàm $\displaystyle  f\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}$ có $\displaystyle  f'\left( x \right) = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}\ln \frac{2}{5} + {\left( {\frac{3}{5}} \right)^x}\ln \frac{3}{5} < 0$ với mọi $\displaystyle  x$ nên hàm số nghịch biến trên $\displaystyle  \mathbb{R}$.

Mà $\displaystyle  f\left( 1 \right) = 1$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $\displaystyle  x = 1$.

Chọn B.

Loigiaihay.com